§8.5复合函数微分法

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1、§8.5多元复合函数微分法复习:一元复合函数的求导法则设是由和复合而成,则。8.5.1全导数定理1若函数及都在点可导,函数在对应点处可微,则复合函数在点可导,且(全导数公式)。①证明:给以增量,则、得相应的增量、,从而有全增量,∵在处可微,∴,其中。∵、都在点可导,∴、都在点必连续,即当时,,,从而。∵,而,∴,即。7全导数公式可形象地表示为,“按线相乘,分线相加”。可把定理1推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。例如:,而,则,。例1.已知,而,,求。解法1:。解法2:,。定理1还可以推广到中间变

2、量不是一元函数而是多元函数的情况。8.5.2复合函数的微分法一、复合函数的微分法定理2设,而。若在点处偏导数都存在,而在相应点可微,则复合函数在点处存在偏导数,且,。7类似地,,而,则,,。在复合函数的求导过程中,如果出现某一函数的中间变量是一元函数,则涉及它的偏导数的记号应改为一元函数的导数记号。例如:设,,则,,。如果,,则注意:这里与是不同的,是把复合函数中的看作不变而对的偏导数,是把中的看作不变而对的偏导数。与也有类似的区别。例2.设,而,,7求,。解:;。例3.设,而,为可导函数,证明:。证

3、明:,,。例4.设,,求和。解:.7.例5.设,有二阶连续偏导数,求,,。解:设,,则,。。例6.设,具有二阶连续偏导数,求及。解:以1、2分别表示、两个中间变量,函数的复合关系图如右:7,,,,故.例7.设,具有连续的二阶偏导数,求,,。解:,,。二、全微分形式不变性设可微,(1)若是自变量,则。(2)若是中间变量,即,,,则复合函数的全微分为7。由此可见,无论是自变量的函数或中间变量的函数,它的全微分形式是一样的,此性质称为全微分形式不变性。例7.已知,,,求。解法1:先求出,,再求出。解法2:利

4、用全微分形式不变性。∵,,∴。例8.设,其中具有二阶连续偏导数,具有二阶连续导数,求.解:,7

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