§2.4高阶导数

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1、§2.4高阶导数一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.设位移函数为s=s(t),则速度函数为v(t)=s(t).由于加速度a是速度v(t)关于时间t的变化率,所以a=[v(t)]=[s(t)]定义:如果函数f(x)的导数f(x)在点x处可导,即存在,则称(f(x))为函数f(x)在点处的二阶导数.记作二阶导数的导数称为三阶导数,记作三阶导数的导数称为四阶导数,记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.一般地,函数f(x)的n–1阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数,记作相应地,f(x)称为零阶导数,f

2、(x)称为一阶导数.二、高阶导数求法举例1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例1:解:例2:解:若为自然数n,则例3:解:同理可得注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数,(必要时用数学归纳法证明)——逐阶求导,寻求规律,写出通式.2.高阶导数的运算法则:设函数u和v具有n导数,则(1)(uv)(n)=u(n)v(n);(2)(Cu)(n)=Cu(n);莱布尼兹(Lebniz)公式.例4:解:设u=e2x,v=x2.并注意v=0,则由莱布尼兹公式知:3.间接法:

3、利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.常用高阶导数公式:例5:解:将函数表达式化简,所以注1.关于抽象函数求导数,必须注意并分清是对哪一个变量来求导数,尤其是求高阶导数.注2.都是对x求导注3.为y=f(u)对u求导数后,再用u=x2代回.三、小结高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法:1.直接法;2.间接法.思考题设g(x)在点a的某邻域内可导,且f(x)=(x–a)2g(x),求f(a).思考题解答由于g(x)可导,所以:又由于g(x)不一定存在,故

4、需用定义求f(a).注意到f(a)=0,所以:例6:解:例7:试从导出解:设y=y(x),x=(y),则y为x的函数,x为y的函数.