高阶导数与高阶偏导数

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1、1.3高阶导数与高阶偏导数一、高阶偏导数的定义二、求高阶导数与高阶偏导数三、高阶微分四、小结1湘潭大学数学与计算科学学院回顾：高阶导数的定义定义记作二阶导数的导数称为三阶导数,2湘潭大学数学与计算科学学院三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.3湘潭大学数学与计算科学学院由于函数展开后的最高次幂项为所以例1已知函数解4湘潭大学数学与计算科学学院纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.一、高阶偏导数的定义5湘潭大学数学与计算科学学院解6湘潭大学数学与计算科学学院原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形

2、观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：7湘潭大学数学与计算科学学院解问题：混合偏导数都相等吗？8湘潭大学数学与计算科学学院解例49湘潭大学数学与计算科学学院按定义可知：10湘潭大学数学与计算科学学院问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解11湘潭大学数学与计算科学学院因此所以12湘潭大学数学与计算科学学院例6解1.直接法:根据定义逐步求高阶(偏)导数.二、求高阶导数与高阶偏导数13湘潭大学数学与计算科学学院莱布尼兹公式2.高阶导数的运算法则:14湘潭大学数学与计算科学学院解例715湘潭大学数学与计算科学学院解例816湘潭大学数学与

3、计算科学学院常用高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.3.间接法:17湘潭大学数学与计算科学学院解例918湘潭大学数学与计算科学学院解例1019湘潭大学数学与计算科学学院已知函数y=f(x)，则它的微分为三、高阶微分亦可称为一阶微分；类似地，二阶微分定义为记作20湘潭大学数学与计算科学学院一般的，已知函数y=f(x)，则它的n-1阶微分为则n阶微分定义为记作由此可得21湘潭大学数学与计算科学学院注(1)(2)求n阶微分实质上就是求n阶导数.解22湘潭大学数学与计算科学学院(3)求高阶微分时：若x是自变量，则由于d

4、x是不依赖于x的任意的数，故关于x微分时，必须视dx为常数因子.若x不是自变量，而是某一变量的函数，如23湘潭大学数学与计算科学学院而x是自变量时，有结论：高阶微分不具有形式不变性.24湘潭大学数学与计算科学学院再求二阶微分,可得由此可见，上述两种结果并不相等.25湘潭大学数学与计算科学学院一般来说，求复合函数的高阶微分，以逐阶求之为宜.解故26湘潭大学数学与计算科学学院注上例的分析过程表明，求复合函数的高阶微分，也可先把中间变量消去后，再求高阶导数可得．27湘潭大学数学与计算科学学院1、高阶偏导数的定义;2、高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);3、n阶

5、导数的求法;(1)直接法;(2)间接法.4、高阶微分不具有形式不变性.四、小结28湘潭大学数学与计算科学学院思考题：证明函数满足拉普拉斯方程证29湘潭大学数学与计算科学学院利用对称性,有所以30湘潭大学数学与计算科学学院作业习题1.3P35A组1(1)、(3)、(5)，2B组431湘潭大学数学与计算科学学院