高阶偏导数(教案).doc

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1、高阶偏导数韩桂玲教学目标：1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义2.会求二元函数的二阶偏导数3..理解二阶连续混合偏导数相等的定理证明教学重点：1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义2.会恰当的用定义法和公式法求二元函数的二阶及高阶偏导数教学难点：二阶连续混合偏导数相等的定理证明教学方法：讲授法教学过程：引入：若二元函数在区域存在与的一阶偏导数，对(把看作常数)(把看作常数)1.二阶偏导数定义若二元函数在区域存在与的（一阶）偏导数与则在内它们都是与的二元函数。若它们关于与的偏导数存在，即(把看

2、作常数)定义法表出(把看作常数)定义法表出(把看作常数)定义法表出(把看作常数)定义法表出则称它们是二元函数的二阶偏导数，其中第二、三个二阶偏导数称为混合偏导数。2.二元函数的阶偏导数：二元函数的阶偏导函数的偏导数例如符号或表示的阶偏导数（先对求阶偏导数，再对求阶偏导数）3.高阶偏导数：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例1求函数的二阶偏导数解：，，，，从例1中我们发现即两个混合偏导数相等但并不说明所有函数的高阶混合偏导数都与求导顺序无关。例如例2：它的一阶偏导数为时，＝时，同理则所以：但例1又不是偶然，

3、事实上，它满足定理1：若函数在点的邻域存在二阶混合偏导数与，并且它们在点连续，则。证明：把与按定义表示成极限形式令则同理现只需证两个累次极限相等令则存在关于的偏导数函数可导，在上应用微分中值定理因为存在关于的偏导数，故对以为自变量的函数在上应用微分中值定理（1）再令同法可得（2）由（1）和（2）式得（3）又因为与在点连续则当时（3）式两边两边极限都存在且相等即小结：本节主要讲解了二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义及求法，值得我们注意的是定理1的内容，它阐述了混合偏导数相等的条件。作业:课后习题1，2题