第8讲-高阶偏导数与极值.doc

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1、第8讲高阶导数与二元函数极值授课题目高阶导数与二元函数极值教学内容1.多元函数的高阶偏导数；2.二元函数的二阶混合偏导数相同的充分条件；3.二元函数的中值定理；4.二元函数的泰勒公式；5.二元函数极值.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握多元函数的高阶偏导数的计算方法，掌握二元函数取极值的必要和充分条件，了解二元函数的中值定理，了解二元函数的泰勒公式.教学重点及难点教学重点：多元函数的高阶偏导数的计算；教学难点：二元函数取极值的充分条件，二元函数的中值定理.教学方法及教材处理提示(1)本讲重点是多元函数

2、的高阶偏导数的定义及计算，通过例题讲授讲清方法和思想，采用边讲边练教学方法，同时要布置适量的求多元函数的高阶偏导数习题，使学生达到熟练掌握．(2)二阶混合偏导与求导次序无关的定理证明是教学难点，我们可以先讲二元函数的中值定理，应用二元函数的中值定理来证明二阶混合偏导与求导次序无关的定理，布置有关习题．(3)讲清二元函数的极值必要和充分条件与一元函数的联系，可通过举例使学生掌握求二元函数极值的方法.作业布置作业内容：教材:1（3，5，6），2，8（2，3），11.讲授内容一、高阶偏导数由于的偏导函数仍然是自变量与的函数，

3、如果它们关于与的偏导数也存在，则说函数具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：，例1求函数的所有二阶偏导数.解：，注意：从上面例子看到，关于和的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（称为混合偏导数），但这个结论并不对任何函数都成立（见例2）.例2设函数解：它的一阶偏导数为进而求在（0，0）处的混合偏导数，得．由此看到，这里的在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？定理17.7　若都在点连续，则.　　这个定理的结论对元函数的混合偏导数也成立。如三元函数，若下述六个三

4、阶混合偏导数在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等.　　例3　1）设求，2）设求，　　解：这里是以和为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式：由复合函数求导公式有注意，这里仍是以为中间变量为自变量的复合函数．所以　　二、中值定理　　先介绍凸区域的概念．若区域D上任意两点的连线都含于D，则称D为凸区域．这就是说对任意两点和一切，恒有　　　定理17.8（中值定理）　设二元函数在凸开域上连续，在D的所有点内都可微，则对D内任意两点，存在某，使得　　　　证：令它是定义在上的一元函数，由定理中的条件知在上连续，在内可微

5、．于是根据一元函数中值定理，存在使得　由复合函数的求导法则　　定理17.9（泰勒定理）　若函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对内任一点，存在相应的，使得称为二元函数在点的阶泰勒公式，其中例４　求在点(1,4)的泰勒公式（到二阶为止）.解：由于，因此有将它们代入泰勒公式，即得三、极值问题定义　设函数在点的某邻域内有定义．若对于任何点成立不等式则称函数在点取得极大（或极小）值，点称为的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称极值．极大值点、极小值点统称极值点．　　由定义可见，若在点取得极值，则当固定时，一元函数必定在

6、取相同的极值上．同理，一元函数在也取相同的极值．于是得到二元函数取极值的必要条件如下：　　定理17.10（极值必要条件）　若函数在点存在偏导数，且在取得极值，则有　　　　反之，若函数在点满足，则称点为的稳定点．定理17.10指出：若存在偏导数，则其极值点必是稳定点。但稳定点并不都是极值点，如例函数，原点为为其稳定点，但它在原点并不取得极值．与一元函数的情形相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。例如在原点没有偏导数，但是的极小值．　　　定理17.11（极值充分条件）　设二元函数在点的某邻域内具有二阶连续导数，且

7、是的稳定点.则有(ⅰ)当时，在点取得极小值；(ⅱ)当时，在点取得极大值；(ⅲ)当时，在点不能取得极值；(ⅳ)当时，不能肯定在点是否取得极值．例5　求的极值．解：　由方程组　得的稳定点，由于因此在点取得极小值又因处处存在偏导数，故为的惟一极值点．　　例6　讨论是否存在极值．　　解：由方程组，得稳定点为原点．因，故原点不是的极值点。又因处处可微，所以没有极值点。