第16讲函数极值与最值2009

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1、《数学分析I》第16讲教案第16讲函数的极值与最大(小)值授课题目函数的极值与最大(小)值教学内容1.函数的极值的定义；2.函数的极值判别法则（第一、二、三充分条件）；3.函数的最大值与最小值.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好地掌握函数的极值判别的第一、二充分条件；能熟练计算函数的极值，学会求函数的最大、小值及其应用，了解函数的极值判别的第三充分条件．教学重点及难点教学重点：函数的极值判别的第一、二充分条件，函数的最值的应用；教学难点：极值的第二、三充分条件的证明.教学方法及教材处理提示(1)借助函数的图像来讲述函数极值定义，

2、从而导出函数极值的必要条件.(2)函数的极值判别的第一、二充分条件是本次课的教学重点内容，第一充分条件证明相对简单些（可留作课外作业），老师应着重讲授第二充分条件的证明，加深学生对泰勒公式的理解和掌握.(3)教会学生以函数的不可导点和导函数（以及二阶导数）的零点（稳定点）分割函数定义域，作出自变量、导函数（以及二阶导数）、函数的性态表，从这个表就能确定函数的单调区间和极值．并且这个表对后面的函数作图也有帮助．(4)关于函数的最值，主要是解决实际应用问题.(5)要求较好的学生能掌握函数的极值的第三充分条件.作业布置作业内容：教材:1（2，4

3、），3，4（2），7，8，9.授课内容一、极值判别费马定理已经告诉我们，若函数在点可导，且为的极值点，则．这就是说可导函数在点取极值的必要条件是下面讨论充分条件1.(极值的第一充分条件)设在点连续，在某邻域内可导。(i)若当时，当时，则在点取得极小值.（ii）若当时，当时，则在点取得极大值．证：下面只证(ii),(i)的证明可类似地进行．由定理的条件及定理6.3，在内递增，在()内递减，又由在处连续，故对任意)，恒有即在取得极大值．2.(第二充分条件)设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，．(i)若，则在取得极大值．(ii)若，则在取

4、得极小值．证：由条件，可得在处的二阶泰勒公式4《数学分析I》第16讲教案由于因此（1）又因故存在正数，当时，与同号。所以，当时，式取负值，从而对任意，有，即在取极大值。同样对可得在点取最小值。例求的极值点与极值．解：在上连续，且当时，有易见，为的稳定点，为的不可导点。易知：点=0为的极大值点，极大值；=1为的极小值点，极小值(1).例的极值点也极值解：当时，。令求得稳定点又因故=6为的极小值点，极小值．对于应用二阶导数无法判别的问题，可借助更高阶的导数来判别．3.(极值的第三充分条件)设在的某邻域内存在直到1阶导函数，在处阶可导，且，则(

5、i)当为偶数时，在取极值，且取极大值，取极小值．（ii）当为奇数时，在处不取极值．例3试求函数的极值．解：由于，因此是函数的三个稳定点。二阶导数为4《数学分析I》第16讲教案由此得，及所以在时取得极小值。求三阶导数有．由于为奇数，知在不取极值．再求的四阶导数，有．因为=4为偶数，故在取得极大值．综上所述，为极大值，为极小值．注：上述定理仍是判定极值的充分条件．可考察函数很显然，它在处取极小值。但因所以无对它作出判别.二、最大值与最小值若函数在闭区间[]上连续，则在[上一定有最大、最小值．若函数的最大(小)值点在区间内，则必定是的极大(小)

6、值点．又若在可导，则还是一个稳定点．所以我们只要比较在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到在上的最大值与最小值．下面举例说明这个求解过程．例4求函数在闭区间上的最大值与最小值解：函数在闭区间上连续，故必存在最大最小值．由于因此又因，所以由导数极限定理推知函数在处不可导．求出函数在稳定点，不可导点，以及端点的函数值4《数学分析I》第16讲教案所以函数在处取最小值，在和处取得最大值,例一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为，燃料费为每小时元，而其他与速度无关的费用为每小时元.问轮船的速度为多少时，每航行

7、所消耗的费用最小？解：设船速为，据题意每航行的耗费为。由已知当时，，故得比例系数是=0．006．所以有求得稳定点=20．由极值第一充分条件检验得20是极小值点．由于在(0，+oo)上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点．所以求得当船速为20(km／h)时，每航行1km的耗费为最少，其值为=0.006X20+=7．2(元)．例6剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时，可使盒子的容积最大．解：设每个小方块边长为，则盒子的容积为在内解得稳定点并由知道为极大值．由于在(0，)内只有

8、唯一一个极值点，且为极大值点，因此该极大值就是所求的最大值．即正方形四个角各剪去一块边长为的小正方形后，能做容积最大的盒子．4