多元函数(第8节极值

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1、第八节：多元函数的极值一元函数y=f(x)的极值概念：总有（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。（2）（极值存在的必要条件）若f(x)在极值点处可导，则导数一定为0，反之不成立。（3）（驻点为极值点的充分条件）设存在，则有（1）如果（3）如果，则为f(x)的极小值；（2）如果，则为f(x)的极大值；，定理失效。（一）二元函数的极值定义：设z=f(x,y)的定义域为D，总有总有是D的一个内点，则称是f(x,y)的极大值；则称是f(x,y)的极小值。若存在点的一个去心邻域极大值和极小值统称为极值；使

2、函数取得极值的点称为极值点；同一元函数一样，二元函数极值也是一个局部概念(1)例1极值点必是D的内点；利用点函数的概念，上述二元函数极值的概念可以推广到n元函数的情形(2)例２例３因为在点(0,0)处，函数值为0，而在点(0,0)的任何邻域内，即有使函数值大于0的点，也有使函数值小于0的点。定理1:（极值存在的必要条件）如果在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似因为f(x,y)在点有极大值定理1:（极值存在的必要条件）如果在点处有极值，且

3、两个一阶偏导数存在，则有问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似这表明一元函数在点处取得极大值，因此同理可证凡是能使具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。同时成立的点称为函数的驻点。极值点也可能是使偏导数不存在的点。极值点只可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生。例1：解：得驻点该函数无极值。···定理2:（极值存在的充分条件）如果（1）（2）在点的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且时具有极值，且当A<0时，有则f(x,y)在处是否取得极值的条件如下极大值，当A>

4、0时，有极小值；时没有是极值；（3）时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。具有二阶连续偏导数的函数f(x,y)的极值的求法：第一步：解方程组求出所有实数解，即求得函数的所有驻点。第二步：对于每一个驻点第三步：定出计算二阶偏导数值A、B、C。的符号，按定理2判定是否是极值，是极大值还是极小值例2：求的极值解：（1）得到四个驻点：（2）计算二阶偏导数A、B、C。（3）对每一个驻点，判断的符号所以(1,0)为极小值点，为极小值。所以点(1,2)和(3,0)不是函数的极值点。例2：求的极值解：（1）得到四个驻点：（3）对每一个驻点

5、，判断的符号（2）计算二阶偏导数A、B、C。所以(3,2)是极大值点。为极大值。例2：求的极值解：（1）得到四个驻点：（3）对每一个驻点，判断的符号（2）计算二阶偏导数A、B、C。又在驻点处必有所以将上述方程组两边分别再对x,y求偏导数，得解解在驻点处必有所以驻点(1,1)为极值点解在驻点处必有所以驻点(1,1)为极值点（二）最大值和最小值如果f(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上必定取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点即可能在D的内部，也可能在D的边界上。假定函数在D上连续、在D的内部可微且仅有有限个

6、驻点，这时如果函数在D的内部取最大或最小值，则它也是函数的极大或极小值，并且一定在某个驻点上取得。求函数最大值和最小值的一般方法：（1）求函数在D内的所有驻点；（2）求函数在D的边界上的最大值和最小值；（3）将函数在所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相比较，最大者就是函数在D上的最大值，最小者就是最小值。在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最大或最小值存在且一定在D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，则该驻点就是函数在D上的最大或最小值点。例1：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰

7、梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：24cm梯形的上底长为高为其中例1：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：问题转化为求面积函数A=A(x,)在区域D上的最大值（1）求A=A(x,)在D内的驻点例1：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：D注意到得唯一驻点例1：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：得

8、唯一驻点（2）在D的边界上D例1：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：得唯一驻点（2）在D的边界上D所以当断面的面积最大。例1：要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸