多元函数极值问题

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1、多元函数极值问题一、一元函数极值问题《一〉一元為数极值的定义定义1设，00在(a,b)上有定义，G(a,h)，如果存在点的某一个领域O(xQf8)c(a,fo),使得/(x)xe(x0,5),则称是八x)的一个极大值点，称为相应的极大值。类似地，设/00在(a,O上有定义，e(a,的，如果存在点xQ的某一个领域00。,5)c(a,/?)，使得/(x)>/(%0)»xe则称xQ是/(%)的一个极小值点，利为相皮的极小值。极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。(二〉一元函数极值的判定定理定理1(Fermat引理)设xQ是/(X)的一个极值点，且/'(%)在

2、xQ处导数存在，则f(x)=0。由Fermat引理知，/(%)的全部极值点必定都在使得f(x)=0的点(即驻点)和使得f00不存在的点的点集之屮。定理2(—元函数极值点判定定理)设函数/GO在点x0的某一邻域中有定义，且/(X)在%。点连续。(1)设存在S>0,使得八x)在(xQ-8,心)与0()3()+S)上可导，(1)若在0()-s,XO)上有f(x)20,在(xo,Xo+s)上有f(x)S0,则Xo是f(x)的极大值点；(ii)若在(x0-s,x0)上有f(x)S0,在(x0,x0+s)上有f(X)20,则x0是f(x)的极小值点；(iii)若f(x)在(%o-S上

3、与+S)上同号，则&不是f(x)的极值点。多元函数极值问题一、一元函数极值问题《一〉一元為数极值的定义定义1设，00在(a,b)上有定义，G(a,h)，如果存在点的某一个领域O(xQf8)c(a,fo),使得/(x)xe(x0,5),则称是八x)的一个极大值点，称为相应的极大值。类似地，设/00在(a,O上有定义，e(a,的，如果存在点xQ的某一个领域00。,5)c(a,/?)，使得/(x)>/(%0)»xe则称xQ是/(%)的一个极小值点，利为相皮的极小值。极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。(二〉一元函数极值的判定定理定理1(Fermat引理)设

4、xQ是/(X)的一个极值点，且/'(%)在xQ处导数存在，则f(x)=0。由Fermat引理知，/(%)的全部极值点必定都在使得f(x)=0的点(即驻点)和使得f00不存在的点的点集之屮。定理2(—元函数极值点判定定理)设函数/GO在点x0的某一邻域中有定义，且/(X)在%。点连续。(1)设存在S>0,使得八x)在(xQ-8,心)与0()3()+S)上可导，(1)若在0()-s,XO)上有f(x)20,在(xo,Xo+s)上有f(x)S0,则Xo是f(x)的极大值点；(ii)若在(x0-s,x0)上有f(x)S0,在(x0,x0+s)上有f(X)20,则x0是f(x)的极

5、小值点；(iii)若f(x)在(%o-S上与+S)上同号，则&不是f(x)的极值点。(1)设f(x)=O,且/(x)在Xo点二阶可导，(■i)若有fx)<0,则x0是f(x)的极大值点；(ii)若有f

6、(x)>0,则&是f(x)的极小值点；(iii)若有fx)=0,则xQ可能是f(x)的极值点，也可能不是f(x)的极值点特别地，对一元连续函数的极值还有如下判别方法：设/(x)在%0点连续，若/(%)在x0的左邻域内单减，右邻域内单增，贝ijx0是f(x)的极小值点；若/Q0在的左邻域内单堉，右邻域内单减，则是八%)的极人值点；若f(X)在的左右邻域内单调性一致，则XQ

7、不是/(X)的极值点；二、二元函数极值问题(一〉二元函数极值的定义定义2设DeR2为开区域，/(x,y)为定义在D上的函数，对点P=(Xq,y0)若存在点P的邻域0(//(%,y)(或/(x0,y0)

8、y)在点P(x()，y0)处口H扁导，则fx(x0，yo)=O,/y(x0，y0)=0。由Fermat引理知，/(x,y)的全部极值点必定都在使得fx(x0,yo)=0,人(%。，y0)=0的点(即驻点)和使得偏导数不存在的点的点集之中。注：1，驻点不一定是极值点。2,偏导数不存在的点也可能是极值点。定理4（二元函数极值点判定定理）设（％。，yQ）为/的驻点，/在（%Q,yQ）附近具有二阶连续偏导数。记八=么（x。，y。），B=fxy（x0,y0）,C=/yy（%。，y0），并记H=gg

9、=AC-B2,那么（1）若H〉0:A〉