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1、多元函数微分学多元函数的极值无约束极值条件极值拉格朗日乘数法可微函数取极值的必要条件极值判别法设在内有定义.若总有则称为函数的极大值称为函数的极大点极大值和极小值的定义一.无约束极值(极小点).(极小值).例1函数在点处函数在点处例2取极大值.取极小值.例1函数在点处不取极值.定理若在点具有偏导数,且在处取极值,则必有（二元可微函数取极值的必要条件）处的切平面方程为由可微函数取极值的必要条件：此时,切平面平行于xy平面.设函数在点处可微且取极值,则相应的曲面在点函数极值的几何意义故切平面方程实际为定理若在点具有偏导数,且在处取极
2、值,则必有（n元可微函数取极值的必要条件）该结论还可写为使函数零的点称为函数的驻点.的一阶偏导数全为定理(可微的二元函数极值判别法)记设例3求的极值.解联立方程组,求驻点:解之得驻点点是极大点,极大值为点不是极值点.点不是极值点.点是极小点,极小值为函数的驻点以及使函数的一阶偏导数不存在的点,称为函数的极值可能点.函数在其极值可能点处,可能取极值,也可能不取极值.函数的最大值和最小值如果为有界闭区域,则函必在上取到它的最大值和最小值.数上的最大值和最小值.求函数的最大值和最小值求函数最大值和最小值的基本原则如果知道可微函数的最大值或最小值
3、一定在区域内达到,函数在区域内又仅有一个驻点,则该驻点一定是最大值点或最小值点.例例4距离之平方和为最大及最小的点.解·所求距离之平方和为所讨论的问题归结为下面的问题:求函数在有界闭区域上的最大、最小值的一般步骤为：※上的可能极大、极小值点;先求在开区域※再求上的可能极大、极小值点;在边界※将所求出的可能极值(及边界上的特殊点的函数值)进行比较,即可得出函数的最大、最小值.※由方程组得到驻点且※·由一元函数求极值的方法,得驻点：函数值：※·由一元函数求极值的方法,得驻点：函数值：※·由一元函数求极值的方法,得驻点：函数值：综上所述※边界上
4、端点值：例例5求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.球面解选择坐标系,使球心位于坐标原点,则球面方程为设所求长方体在第一卦限中的顶点为则长方体的三个棱边长是长方体体积为2228yxaxy--=8)2)(2)(2(xyzzyxV==原问题归结为下面的优化问题:由解之得由解之得应用题,又仅有唯一的个驻点,故该驻点即为极值点,从而所求球内接长方体的边长为这就是对目标函数的约束应满足方程对自变量附加一定条件的极值问题就是有约束极值问题.例如,上面讲的求球内接体积最大的长方体的问题,就是一个有约束的极值问题:长方体顶点必须位于球面上,其坐标x2
5、+y2+z2=a2.二.有约束极值（条件极值）有约束极值(条件极值)的定义若有(或则称为函数在约束条件下的极大值(或极小值).这种极值通常简称为函数的条件极大(小)值.这里的约束称为等式约束.问题：求函数在下的极值.条件运用变量替代法求解有约束极值问题时,往往会遇到困难——有时不能从条件中解出变量间的显函数表示式.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求解构造拉格朗日函数由取极值的必要条件解方程组驻点进行判别例例7求函数在条件下的极小值,并证明此时不等式成立：其中,x、y、z、a>0为实数.解作拉格朗日函数令由前三式得从而将它代入最后
6、一式,得到拉格朗日函数的驻点：该驻点是否为原函数的极值点?设方程确定隐函数则可令从而在点处又故函数F(x,y)在点(3a,3a)处取极小值,这等价于函数f(x,y,z)在(3a,3a,3a)取极小值下面证明不等式：由于点(3a,3a,3a)是可微函数的唯一(条件)极小值点,故在中有即有由x、y、z、a>0的任意性,即可得由x、y、z、a>0的任意性,即可得将上式稍加变形,即可得到一个重要的不等式：几何平均值算术平均值例例解多元函数的极值无约束极值有约束极值变量替代法拉格朗日乘数法
