多元函数的极值ppt课件

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1、8.8多元函数的极值实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.问题的提出播放8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件1、二元函数极值的定义例1例２例３2、多元函数取得极值的必要条件证仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点（或者临界点）.驻点极值点注意：且偏导存在8.8.2极值的充分条件极值可疑

2、点注：对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，按极值定义判定之.解例4讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点及不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用多元函数的极值来求多元函数的最大值和最小值.8.8.3.多元函数的最大值、最小值问题解如图,解由无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条

3、件.例7用一块面积为12平方米的铁皮制作一个无盖的长方体形状的水柜,问其长、宽、高各为多少时可使水柜的容积最大?解：设水柜的长、宽、高分别为x，y，z，则xyz因此，长、宽、高分别为2,2,1时容积最大，最大容积为4。条件极值：对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．8.8.4条件极值与拉格朗日乘数法一般地，求函数(目标函数)

4、,在条件(约束条件)下的极值问题称为条件极值问题.条件极值：对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题例:转化方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记故故有引入辅助函数辅助函数L称为拉格朗日函数,极值点必满足则极值点满足:拉格朗日乘数法实数称为拉格朗日乘数.则极值点满足:拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件推广:例8求函数f(x,y)=x2+2y2在条件x2+y2

5、=1下的最值.解目标函数：约束条件：x2+y2=1例9求椭圆抛物面z=x2+2y2与平面3x+6y+2z=27的交线上与xOy平面的最短的距离.解解则xyz解可得由数学模型(目标函数)(约束条件)多元函数的极值求条件极值的拉格朗日乘数法（取得无条件极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值小结思考题思考题解答练习题练习题答案8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件8.8.1多

6、元函数的极值概念和极值的必要条件8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件