《多元函数极值》ppt课件

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1、多元函数的极值一、多元函数极值的概念二、最值问题三、条件极值第九章第八节一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有说明(1)函数的极值点必须是函数定义域的内点.(2)极值的概念可以推广到一般的多元函数.例1例2例3说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故处的切平面方程为由

2、可微函数取极值的必要条件：此时,切平面平行于xy平面.设函数在点处可微且取极值,则相应的曲面在点下面看看函数极值的几何意义故切平面方程实际为时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当证明见第九节(P122).时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数例4.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.

3、在点(1,2)处不是极值;极值点和驻点的关系(1)极值点可能是驻点(2)极值点可能不是驻点(3)驻点不一定是极值点例1先求开区域内的极值，再求区域边界上的极值，从中选取最值.提示与分析:2005年考研解唯一驻点例2.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.例3.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边

4、长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗

5、日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.3.根据实际问题的性质判断可疑极值点究竟是不是极值点.拉格朗日乘数法求z=f(x,y)在附加条件(x,y)=0下的极值.1.作拉格朗日函数2.求解方程组解出x,y,,则点(x,y)就是可疑极值点.问题：推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件作拉格朗日函数解例1例2.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱

6、,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.下面举一例说明常见的解方程组的技巧.例3求函数在约束条件下的极值.(下面仅就解此方程组的方法进行讨论,不具体求出极值)解作拉格朗日函数用拉格朗日乘数法求条件极值,根据极值必要条件求解方程组的解即求驻点,此方程组一般都是非线性的,解法的技巧性较高,需视具体方程组的特征采用

7、特殊的处理方法.解方程组方法一注意到前三个方程的第一项均是x,y,z三个变量中两个的乘积,如果将各方程乘以相应缺少的那个变量,那么就都成为xyz,再消项.即(a)乘以x得:乘以y得:(b)乘以z得:(c)(a)+(b)+(c)得:(d)把方程组中的第四个方程代入(d),得再把(e)分别代入(a),(b),(c)式便得(e)方法二因x,y,z都不等于0,上两式相除,立即消去得到改写为改写为同理对方程组中的第二,三个方程作类似得到从而处理,再代入方程组中的第四个方程,便得方法三先解出把方程组的第四个方程代入(d)式,得(d)再把分别代入方程组的第一,

8、二,三个方程中便得内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函