多元函数的极值ppt 课件.ppt

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1、第五节多元函数的极值主讲教师:黄小平一、复习引入二、二元函数极值的定义三、二元函数取得极值的条件四、二元函数极值的求法五、本节小结1、复习回顾oabx1x2x3x4x5y=f(x)xy2、问题的提出求最大收益即为求二元函数的最大值。每天的总收益为:这个函数常称为目标函数。某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价30美分,外地牌子每瓶进价40美分,店主估计,如果本地牌子的每瓶卖x美分,外地牌子的每瓶卖y美分,则每天可卖出70-5x+4y瓶本地牌子的果汁,80+6x-7y瓶外地牌子的果汁,问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益?问题:如何求二元函数的最大值和最小值呢?二、二元函数极

2、值的定义观察:观察二元函数的图形二元函数极值的定义定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y):如果都适合f(x,y)f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极小值。极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点。极值是局部特性例1函数处有极小值.在xzy0例2函数处有极大值.在处有极大值.在xyzO例3处无极值.在函数xzy0问题:回顾一元函数极值的知识可知,如果函数f(x)在x0处取得极值,且导数存在,那么必有f`

3、(x0)=0.如果(x0,y0)为二元函数f(x,y)的极值点,且在此处导数存在,那么会有什么结果呢?二、多元函数取得极值的条件定理1(必要条件)设函数在点具有偏导数,且在点处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:,.推广如果三元函数在点有极值的必要条件具有偏导数,则它在,.;是:仿照一元函数,凡使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点.问题:如何判定一个驻点是否为极值点?驻点极值点注意:.例如点是函数的驻点,但不是极值点定理2(充分条件)设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数,且是函数的驻点.令(1)时具有极值,且当时有极大值,当时有极小值;(2)时没有极值;则:(3)时可能有极值,也可能没

4、有极值,还需另作讨论.求函数),(yxfz=极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx,求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC-的符号,再判定是否是极值.四、二元函数极值的求法例4求函数f(x,y)x3y33x23y29x的极值.求得驻点为(1,0)、(1,2)、(3,0)、(3,2).再求出二阶偏导数fxx(x,y)6x6,fxy(x,y)0,fyy(x,y)6y6.在点(1,0)处,ACB212·6>0,又A>0,所以函数的(1,0)处有极小值f(1,0)5;在点(1,2)处,ACB212·(6)<

5、0,所以f(1,2)不是极值;在点(3,0)处,ACB212·6<0,所以f(3,0)不是极值;在点(3,2)处,ACB212·(6)>0,又A<0,所以函数的(3,2)处有极大值f(3,2)31.解方程组解五、本节小结1、本节学习了多元函数极值的定义,注意极值仅是函数的局部特性。2、多元函数取得极值的必要条件和充分条件。驻点极值点只有当AC->0时驻点才是极值点。极值点驻点偏导存在3、有可能偏导不存在也是极值点,例如函数在(0,0)点处有极大值,但函数在(0,0)点偏导不存在。因此,在求函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应

6、当考虑.思考:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价30美分,外地牌子每瓶进价40美分,店主估计,如果本地牌子的每瓶卖x美分,外地牌子的每瓶卖y美分,则每天可卖出70-5x+4y瓶本地牌子的果汁,80+6x-7y瓶外地牌子的果汁,问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益?解:每天的收益:于是求每天的最大总收益,就是求二元函数的最大值。则有驻点.所以当美分,美分时,小店可求二元函数的偏导数,得取得最大收益.(引例的求解)

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