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1、一、多元函数的极值二、条件极值拉格朗日乘数法第八节多元函数的极值三、有界闭区域上函数的最值四、小结五、作业一、多元函数的极值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义:是某点函数值比该点附近函数值大(小).定义点P0为函数的极大值点.类似可定义极小值点和极小值.设在点P0的某个邻域,为极大值.则称函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极值.极值点.内的值比较.是与P0的邻域极小值可能比极大值还大.注函数是否存在极值,
2、在(0,0)点取极小值.在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.椭圆抛物面下半个圆锥面马鞍面在简单的情形下是容易判断的.函数函数(也是最小值).函数2.极值存在的必要条件证.定理1(必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:有极大值,不妨设都有这说明一元函数有极大值,必有类似地可证推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件为驻点极值点一阶偏导数同时为零的点,称为函数的驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如,驻点,但不是极值点.注3.极值存在的充分条件定理2(充分条件)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得
3、极值的条件如下:(1)有极值,有极大值,有极小值;(2)没有极值;(3)可能有极值,也可能无极值.（用定义判定）求函数极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号,再判定是否是极值.具有二阶连续偏导数例1.解.又在点(0,0)处,在点(a,a)处,故故即的极值.在(0,0)无极值;在(a,a)有极大值,解.求由方程将方程两边分别对x,y求偏导数,由函数取极值的必要条件知,驻点为将上方程组再分别对x,y求偏导数,例2.故函数在P有极值.代入原方程,为极小值;为极大值.所以所以然而,如
4、函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:函数不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.可能极值点:驻点,偏导数不存在的点.由极值的必要条件知,若函数偏导数存在,但也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数注释极值只可能在驻点处取得.对自变量有附加条件的极值.其他条件.无条件极值对自变量除了限制在定义域内外,并无条件极值二、条件极值拉格朗日乘数法解.例3.已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为.由题意长方体的体积为且长方体体积一定有最大值,体体积最大.故当的长、宽、高都为
5、6时长方由于V在D内只有一个驻点,上例的极值问题也可以看成是求三元函数的极值,要受到条件的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件有时条件极值目标函数中化为无条件极值.可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的.下面要介绍解决条件极值问题的一般方法:下,这样做是有困难的,拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法:现要寻求目标函数在约束条件下取得如函数(1)在由条件(1)(2)极值的必要条件.取得所求的极值,那末首先有(3)确定y是x的隐函数不必将它真的解出来,则于是函数(1)即,在取得所取得极值.求的极值.其中代入(4)得:由一元可导函数取得
6、极值的必要条件知:(4)取得极值.在(3),(5)两式取得极值的必要条件.就是函数(1)在条件(2)下的设上述必要条件变为:(6)中的前两式的左边正是函数:(6)的两个一阶偏导数在的值.函数称为拉格朗日函数,称为拉格朗日乘子,是一个待定常数.拉格朗日乘数法:总结：条件极值的必要条件在条件要找函数下的可能极值点,先构造函数为某一常数,其中可由解出其中就是可能的极值点的坐标.如何确定所求得的点实际问题中,非实际问题我们这里不做进一步的讨论.拉格朗日乘数法可推广:判定.可根据问题本身的性质来的情况.自变量多于两个是否为极值点其中最大者即为最大值,
7、与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法最小者即为最小值.将函数在D内的所有可能的极值点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,三、有界闭区域上函数的最值解.(1)求函数在D内的驻点由于所以函数在D内无极值.(2)求函数在D边界上的最值(现最值只能在边界上)围成的三角形闭域D上的最大(小)值.例4.D＊在边界线＊在边界线由于最小,由于又在端点(1,0)处,所以,最大.有驻点函数值有单调上升.D＊在边界线所以,最值在端点处.由于函数单调下降,(3)比较D解.为椭球面上的一点,令则的切平面方程为在第一
8、卦限内作椭球面的使切平面与三个坐标面所围成的例5.切平面,四面体体积最小,求切点坐标.目标函数该切平面在三个轴上的截距各为化简为所求四面体的体积约束条件在条件下求V的最小值,令由
