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1、《高等数学》教案64ChapⅡ导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”.微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材.积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才
2、应运萌生.§1.导数概念本节重点：导数的定义及几何意义.本节难点：导数的定义.本节内容：一、引言从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代.而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展.生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展.在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：(1)求变速运动的瞬时速度；(2)求曲线上一点处的切线；(3)求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为
3、函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题.牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念.参考课时：12+3《高等数学》教案64二、问题的提出(1)平面曲线的切线割线斜率()切线斜率.(2)变速直线运动的瞬时速度平均速度：,瞬时速度：.(3)产量变化率平均变化率：,产量变化率：.三、导数的定义Df设函数在点的某个邻域内有定义，如果,则称函数在点处可导，并称极限值为函数在点处的导数，记作，,.四、左右导数左导数：,右导数：.Th函数在点处.例1.例2.图示切线：割线的极限位置(并非与曲线只有一个交点的直线)抛开三个问题的具体含义,抽象出共同点:
4、都是考虑一个函数的函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于0时的极限.就得到导数的概念.单侧导数(可导)尖点,光滑点.《高等数学》教案64Df在可导在的每一点可导.闭区间可导:端点单侧可导.光滑曲线,连续曲线...例3.例4.计算导数::魔鬼变量(贝克莱主教),扬弃的“”().导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质:函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度.根据导数的定义求导，一般包含以下三个步
5、骤：1．求函数的增量：；2．求两增量的比值：；3．求极限.对联：圆曲率半径点点相等滑摩擦系数处处为零引入导(函)数概念计算公式留数《高等数学》教案64五、导数的几何意义与物理意义几何意义:表示曲线在点处的切线斜率.物理意义:表示函数在点处的变化速度(快慢程度).曲线在点处的切线方程为；法线方程为.五、可导与连续的关系Th在点处可导在点处连续.逆命题不成立.但不连续必不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的.1872年得多数学家魏尔斯特拉斯构造出一个处处连续但处处不可导的例子，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界.这就促使人们
6、在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.例5讨论在的连续性与可导性.例6试按导数定义求下列各极限(假设各极限均存在).(1)；(2)，其中.例7求在点处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.作业：P72习题2-1见例2《高等数学》教案64§2.函数的求导法则本节重点：导数的各种运算.本节难点：复合函数的求导.本节内容：一、引言求函数的变化率——导数，是理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题.但根据定义求导往往非常繁难，有时甚至是不可行的.能否找到求导的一般法则或常用函数的求导公式，使求导的运算变得更为简单易行呢？从微积分诞生之日起，
7、数学家们就在探求这一途径.牛顿和莱布尼茨都做了大量的工作.特别是博学多才的数学符号大师莱布尼茨对此作出了不朽的贡献.今天我们所学的微积分学中的法则、公式，特别是所采用的符号，大体上是由莱布尼茨完成的.二、导数基本公式,,,,,,,,,.,,,,,,,.三、导数的四则运算设为可导函数.L1.要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维活动.--F.莱布尼茨在后边三角：正正余
