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《经济数学第二章导数、微分及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二章导数、微分及其应用函数的导数、微分有着极其广泛的应用，木章介绍导数、微分的概念、计算方法及其应用，尤其侧重介绍在经济方而的应用.§2.1导数的概念及运算一、导数的定义（-）两个实例引例1产品总成本的变化率设某产品的总成木C是产量g的函数C=C（q）,当产量由％改变为q（）+Aq时，总成本相应的改变量为△C=C©）+Aq）-C（g（））,这吋，称兰=C（q°+Aq）-C©））为产量由％改变到％*乂吋产品总成本的平均变化AgAq率.当q0时，如果极限lim竺=lim5如）一5）Ag->oAqM->（）Aq存在
2、，则称此极限值为产量是％时总成本的变化率，乂称为边际成本.引例2求曲线y=/（x）在点人（兀°，/（“）））的切线的斜率.给冃变虽兀一个微小的改变量Ax,如右图2.1,让自变量兀从X。变化到x0+Ax时,函数相应的改变量为Ay=/（x0+心）-/（x0）,这时，曲线上点仇（兀（），/（兀（）））变到了点P(x0+Ax,/(x0+Ax)).从而曲线y=/(x)的割线CP的斜率为口=詈="5+<_心）.割线的斜率是曲线在点人（兀°,/（兀°））的切线的斜率的近似值.当心T0时，割线P.P的斜率的极限就是曲线y=于（兀
3、）在点人）（兀oJ（兀°））的切线/的斜率，即kp=lim型=lim如竺上如."AxtOyAv—>0x前两个引例虽然具体内容不同，但都是函数变化率的极限问题，解决问题的方法是相同的.我们抽彖引出导数的定义.（二）导数的定义1.定义设函数y=/（x）在点X。的某一邻域内有定义当H变最x在观处取得增最山（点兀o+心仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Ay=/（兀0+山）-/（兀0）,如果极限lim坐=lim心+心）-小）MT0山T0心存在贝J称函数/（X）在点心处可导•并称此极限值为函数/（兀）在点兀0的导数•记
4、为广（兀0）,或儿沖轨F警仁•如果肥詈不存在，则称函数/（兀）在点兀。处不可导.如果极限lim鱼二lim心）+心）一/（和和lim乞二Hm血也二如都存在,其极山toAxavtoAx心to>2心-»（）♦Ajc限值分别称为函数/（x）在点X。处的左导数和右导数.分别记为广（x0-0）和/Vo+o）.函数/（X）在点心处可导的充分必要条件是函数/（X）在点兀（）处的左、右导数都存在H.相等.如果函数『=/⑴在开区间（a,b）内的每一点都可导，就称函数/（X）在开区间（a,b）内可导.这时，对于开区间⑺力）内的每一个兀
5、值，都有/（兀）的一个确定的导数值与之对应，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数y=/（x）的导函数，记作V，广(x)dy戒df(x)dx，dx导函数的定义式为Clim坐=lim念+37'⑴.山toAx&一>0Ax显然，函数/（兀）在点兀0处的导数就是导函数厂（兀）在点兀0处的函数值，即/Vo）=/V）_0.在不发住混淆的情况下，导函数也简称为导数.因此，引例屮产品总成本的变化率是总成本c对产量q的导数：©（%）=寻
6、戸0；而曲线）,，=/（兀）在点仇（兀o，/（心））处的切线的斜率是函数在点心处的导数
7、：k=广（兀o）.2.一些基本初等函数的导f例1求常函数/(x)=C(C是常数)的导数.g小£，/、rAy/'(x+zkx)-/(x)C-C解c=f(x)=lim—=lim—=lim=0.Ax—>0yAxt()/yAr—>0y例2求幕函数/（x）=x“gN,N是白然数）的导数.解由二项式定理：（x+心）"=（7软"+C,〉z心+C纸"心）2+・・.+c：（心）”...Ay=/XZ）-/⑴=（"）"-*=处，i+1）严2心+...（心严AaAvAa2!・•・（xny=lim^=nxn-心->oAy更一般地，
8、幕函数/（x）=x"（awR）的导数（xay=a-xa~x・常用的结论：（M=i,（J7）'=丄，（丄）‘=一丄・2』xxQ例3求止弦窗数/（x）=sinx的导数.Ax广⑷=limmm)=lim曲+心)-心=limcos~v+2mtoAr心toAx心toAx故正弦两数/(x)=sinx的导数：(sinx)'=cosx.同理町得余弦函数/(兀)=cosx的导数：(cos兀)'=-sinx.例4求指数函数f（x）=ax（a>0,a^l）的导数.心lin./D7(x)=Bm严"d恤◎AxA.v->()Ar心t()/y
9、Ax->()/y令-1=r,则Ax=logd(l+r),.ft当AxtO时；ftO,故"lim?——=axfT()1loga(l+t)1=axra・log“e即（axy=ax}na.特别地，当a=e时，因e=1,所以（Q）'=/.例5求对数函数/（x）=log“兀（a>0,a工1）的导数.解广⑴二恤g+心）一"）=恤】略（兀+心）一呃兀山t°Ax山toAx=—l
