2导数、微分及其应用

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1、第二讲导数、微分及其应用一、导数、偏导数和微分的定义对于一元函数对于多元函数对于函数微分注：注意左、右导数的定义和记号。二、导数、偏导数和微分的计算：1）能熟练运用求导公式、运算法则计算导数、偏导数和微分；2）隐函数、参数方程的导数3）高阶导数：特别要注意莱布尼茨公式的运用。例1：求函数在处的阶导数。解：，所以有（1）利用莱布尼茨公式对（1）两边求阶导数得当时，由此可得第9页（共9页）例2：求的阶导数。解：设其中，，则有注：计算时注意一阶微分不变性的应用。4）方向导数与梯度一、导数、偏导数及微分的应用1）达布定理：设在上可导，若则对介于的一切

2、值，必有，使得。证明：在上可导，则在上一定有最大值和最小值。1、如果异号，无妨设，由于，由极限的保号性，当充分接近时有；当充分接近时有，这就说明不可能是在上的最大值，所以一定存在，使得是在上的最大值，由费马定理可得。2、对于一般的的情形，设是介于的值，考虑函第9页（共9页）数，则有异号，由前面的证明可得，存在有，即。2）罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理其中，这里在与之间的某个值。3）一元函数的单调性及极值、最值4）一元函数的凹凸性：在区间上凹：和，若，则；在区间上凸：和，若，则；性质：1、如果在区间上是凹的，则和，若

3、，一定有；2、如果在区间上是凸的，则和，若，一定有证明：因为其中，所以用数学归纳法可证明以上结论。例3：证明：若，则有第9页（共9页）证明：考虑函数，因为所以时，是凹函数。因此对于由性质有5）多元函数几何应用6）多元函数的极值：拉格朗日乘数法。例4：设在上连续，在上可导，。又在上连续，证明：至少存在一点使得。证明：因为在上连续，所以在上存在原函数，即有。考虑函数，则有，由罗尔中值定理可得至少存在一点使得因此至少存在一点使得。例5：设函数在上连续，在上可导，（1）如果，证明：至少存在一点，使得。（2）如果，且对一切有，证明：至少存在一点，使得。

4、证明：（1）如果函数在上是常数，则对于任意的都有第9页（共9页）。下面设不是常数，此种情形下存在使得，无妨设，取，因为，所以存在，当时有因此我们有，由此我们可得在上的最大值不在端点取得，由最大值和最小值定理和费马定理至少存在一点使得(2)因为，，由夹逼准则得考虑函数，则有在上连续，在上可导，并且，由（1）的结论可得至少存在一点，使得。例6：设函数在区间上可微，，是个正数，且，证明：存在使得证明：利用介值定理，存在使得，无妨我们设，对函数分别在以为端点区间上运用拉格朗日中值定理可得，至少存在在之间使得第9页（共9页）因此我们有例7：设在上可导，

5、，证明：。证明：1）设在内的最大值为，则有这就得到在上有，特别是；2）设在上有，设设在内的最大值为，则有这就得到在上有，由数学归纳法可得在上有。同理可得在上有。例8：设在上有二阶导数，证明：存在，使得证明：设，将在点处展成三阶泰勒公式当时，第9页（共9页）（1）当时，(2)得因为在可导，且在之间，由达布定理可得，存在使得，此时即有例9：设在上二阶可导，证明：对于，存在使得证明：构造函数，则有，利用罗尔中值定理，存在有，再利用一次罗尔中值定，存在使得，又因为第9页（共9页）由此可得即有例10：设函数在连续，在内可微，且。证明：（1）存在使得；（

6、2）存在使得。证明：（1）考虑函数，因为，由零点定理，存在使得；（2）考虑函数，因为，由罗尔中值定理，存在使得，即有。一、练习题1）求函数的阶导数。2）设在上有阶导数，且，证明：存在，使得第9页（共9页）。3）设在上有二阶导数，且存在使得证明：存在，使得。4）设在区间上三次可微，证明：存在，使得5）设函数在上是导数连续的有界函数，，证明：第9页（共9页）