2微分及导数的应用

《2微分及导数的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、函数的微分1.微分的定义定义设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果函数的增量可表示为其中A是不依赖的常数，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即函数在某个区域的微分复合函数的微分法则设及的微分为：例1求解微分为求积分及常微分方程打下基础，微分和积分是互逆运算。四、导数的几何意义由切线问题的讨论以及导数的定义可知：函数y=f（x）在点x0处的导数在几何上表示曲线在点M（x0，f（x0））处的切线的斜率，即，其中a是切线的倾角。如果在点x0处的导数为无穷大，这时曲线的割线以

2、垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线在点M（x0，f（x0））处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线在点M（x0，y0）处的切线方程为过切点M（x0，y0）且与切线垂直的直线叫做曲线在点M处的法线，如果，法线的斜率为，从而法线方程为，例求等边双曲线在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。解根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为由于于是从而所求切线方程为，即所求法线的斜率为，于是所求法线方程为即中值定理及导数的应用1.中值定理拉格朗日中值定理如果函数f（x）在

3、闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那末在（a，b）内至少有一点，使等式由（图1）看出：为弦AB的斜率，而为曲线在点C处的切线的斜率。图1特别：取，由上式知即Roll定理。罗尔定理如果函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那末在（a,b）内至少有一点，使得函数f（x）在该点的导数等于零：。柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且F'（x）在（a，b）内的每一点处均不为零，那末在（a，b）

4、内至少有一点，使等式成立。应用：（1）不等式的证明（或等式的证明）（2）零点存在的唯一性例1设，证明证明令在[a，b]上应用拉格朗日中值定理即又因从而例2证明方程只有一个实根。证明：令在[0，1]之间有一个根假设有，是的实根，且不妨设则由Roll定理使但与矛盾，故只有一个实根2.洛必达法则定理设（1）当x→a时，函数f（x）及F（x）都趋于零；（2）在点a的某去心邻域内，f'（x）及F'（x）都存在且F'（x）≠0；（3）存在（或为无穷大）；那未有以下几种类型，，，，，，，型例3解（型）例4（）解：（型）例5（）解：（型）例

5、6解（型）先计算其对数的极限例7解（型）原式小结：，型直接用洛必达法则，型运用无穷大与无穷小的关系化为上面类型型通分或运用三角函数变换，，型先求其对数的极限1.泰勒展式泰勒（Taylor）中值定理如果函数f（x）在含有x0的某个开区间（a，b）内具有直到（n+1）阶的导数，则当x在（a，b）内时，f（x）可以表示为（x－x0）的一个n次多项式与一个余项Rn（x）之和：，其中，这里是x0与x之间的某个值。常用的几个泰勒展式（在0点展开）例8按（）的方幂展开多项式解设也可用泰勒展式求近似值比如4.单调性判定法函数单调性的判定法设

6、函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。（1）如果在（a，b）内f'（x）＞0，那末函数y=f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果在（a，b）内f'（x）＜0，那末函数y=f（x）在[a，b]上单调减少。例8讨论下面的函数的单调性解函数的定义域为（）因为在（）内，所以函数在（）上单调减少因在（）内，所以函数在（）上单调增加5.函数的极值定义设函数f（x）在区间（a，b）内有定义，x0是（a，b）内的一个点。如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这一去心邻域内的任何点x，f（x）＜f（x0）均成立，就称f（x

7、0）是函数f（x）的一个极大值；如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f（x）＞f（x0）均成立，就称f（x0）是函数f（x）的一个极小值。定理1（必要条件）设函数f（x）在点x0处可导，且在x0处取得极值，那末这个函数在x0处的导数为零，即f'（x0）=0。定理2（第一种充分条件）设函数f（x）在点x0的一个邻域内可导且f'（x0）=0。（1）如果当x取x0左侧邻近的值时，f'（x）恒为正；当x取x0右侧邻近的值时，f'（x）恒为负，那末函数f（x）在x0处取得极大值；（2）如果当x取x0左侧邻近的值

8、时，f'（x）恒为负；当x取x0右侧邻近的值时，f'（x）恒为正，那末函数f（x）在x0处取得极小值；（3）如果当x取x0左右两侧邻近的值时，f'（x）恒为正或恒为负，那末函数f（x）在x0处没有极值。定理3（第二种充分条件）设函数f（x）在点x0处具有二阶导数且f'（x0）=0f''（x