微分中值定理与导数的应用(1)(2)

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1、微分中值定理例3.1证明方程有且仅有一实根.例3.2设在上连续，在内可导，且，证明：存在一点，使得.例3.4证明当时,．习题3.11．选择题（1）函数满足罗尔定理条件的区间是（）.　（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）（2）下列函数在给定的区间上，满足拉格朗日中值定理条件的是（　　）　（Ａ）　　　　　（Ｂ）　（Ｃ）　　　　　（Ｄ）（3）设连续可导，且有5个不等实根，则至少有（）个实根．　（Ａ）　　　（Ｂ）　（Ｃ）　　（Ｄ）（4）设在连续，在内三阶可导，且在内有5个不等实根，则至少有（）个实根．　（Ａ）　　　（Ｂ）　（Ｃ）　　（Ｄ）2.填空题（1）设，则有　　　　　个实根．（2）对函数在

2、上应用拉格朗日中值定理，得到的．3．证明方程有且仅有一个正实根.4.证明多项式在上至多有一个零点.55.设函数在闭区间上可导,对上的任意都有，且对任意都有，证明:在内有且仅有一个使得.洛必达法则例3.8求.例3.10求极限例3.11求极限例3.12求极限习题3.21．求下列极限（1）　　　　　　　（2）（3）　　　　（4）（其中是正整数）（5）　　　　（6）（7）（8）（9）　　　　　　（10）　函数单调性与极值以及曲线凹凸性例3.19讨论的单调区间，并求极值例3.20设，在内讨论的单调性和曲线凹凸性例3.21设有二阶连续导数，，则（）5（A）不是的极值点，也不是曲线的拐点

3、；（B）是的极值点，也是曲线的拐点；（C）是曲线的拐点；（D）是的极小值点.例3.24当时，证明不等式．习题3.41．选择题（1）下面说法正确的是（　　）（Ａ）如果可导函数在内单调增加，那么；（Ｂ）如果可导函数在处有水平切线，那么在处取得极值；（Ｃ）如果可导函数在内只有唯一的驻点，那么该驻点一定是极值点；（Ｄ）如果可导函数在处取得极值，那么．（2）函数在点处连续且取得极小值，则在处必有（）．（Ａ）且；（Ｂ）；（Ｃ）或不存在；（Ｄ）．（4）曲线的图形（）（Ａ）在内是凹的；（Ｂ）在内是凸的；（Ｃ）在内是凸的，在内是凹的；（Ｄ）在内是凹的，在内是凸的．（5）函数的单调增区间为（）

4、（A）（B）（C）（D）（6）设，则当满足条件（）时函数为增函数．（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）或．（7）设函数及都在处取得极大值，，则在5处（）（Ａ）必取得极小值；（Ｂ）必取得极大值；（Ｃ）必不取得极值；（Ｄ）是否取得极值不能确定．2.填空题(1)函数的单调减区间为；曲线的凹区间为.(2)函数在区间上的最小值为.（3）设在上有连续导数，且图形如图，则在内的极小值点为(4)函数在点处取极小值，则.（5）方程，有个实根.3．确定下列函数的单调区间．（1）（2）（3）（4）4．讨论下列函数确定的曲线的凹凸性和拐点．（1）（2）5．证明下列不等式：（1）.证明：当时，.（2）证明

5、：当时，.（3）证明：当时，.（4）证明：当时，.（7）证明：当时，．6．求函数的极值．7．求函数在闭区间上的最大值和最小值．9．已知在处有极小值，求和．510．当为何值时，函数在处必有极值，它是极大值还是极小值，并求此极值．13．求内接于半径为的球圆柱体的体积的最大值.14.在半径为的圆内作一个内接矩形，试将矩形的面积的最大值.15.设有一块边长为a的正方形铁皮，现将它的四角剪去边长相等的小正方形后，制作一个无盖盒子，问小正方形边长为多少时盒子的容积最大？.16.抛物线和直线的内接矩形（一边在上）的宽为多少时，其面积最大？5