微分中值定理与导数的应用习题(1)

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1、8167f269b6c76a60b61449f12833b78a.doc　　　　　　　　　　-5-第三章微分中值定理与导数的应用1.微分中值定理：(1)罗尔Rolle定理；(2)拉格朗日Lagrange定理；推论１：设为区间，如果，有，则在上，（常数）．推论２；如果，有，则在内，（常数）．(3)柯西Cauchy定理2.洛必塔法则与未定式的计算(1)＂＂型：(2)＂＂型：(3)其它未定式：3.泰勒公式(1)公式：皮亚诺余项，拉格朗日余项．(2)常用的泰勒公式：①②③④⑤4.可导函数单调性的判别法与极值(1)可导函数单调性的判别法：8167f269b6c76a60b61449f12833b78

2、a.doc　　　　　　　　　　-5-命题１：设，并在内可导，则　　　　在上单调增加（减少）　　　①　　　②不在的任一子区间上恒为零．(1)极值（极值点）的判定方法：①结合单调性讨论；②用二阶导数讨论；(2)极值点，驻点，不可导点之间的关系(从费马定理开始)．2.求在区间上连续函数的最值的一般步骤第一步：求的全部实根，记为：；第二步：求导数不存在的点，记为：；第三步：计算函数值，，，以及；第四步：比较第三步的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值．3.函数凹凸性的判别法与拐点(1)函数凹凸性的判别法命题１：设，并在内可导，则　　　为向上凹在内单调增加；（即切线斜率单增）命题２：设，在内存在，

3、则　　　②为向上凹．命题３：设，并在内可导，则为向上凹，有：．(2)8167f269b6c76a60b61449f12833b78a.doc　　　　　　　　　　-5-拐点结合凹凸性讨论．1.曲线的渐近线(1)铅直渐近线若，则是曲线的铅直渐近线．(2)水平渐近线若或（为常数），则是曲线的水平渐近线．(3)斜渐近线若或存在，则是曲线的一条斜渐近线．2.函数作图的步骤第一步：求出函数的定义域；第二步：考察函数的奇偶性，周期性；第三步：求出方程的全部实根，导数不存在的点，列表判别函数的单调区间与极值点．第四步：求出方程的全部实根，导数不存在的点，列表判别函数的凹凸性与拐点．第五步：求出函数的铅直渐

4、近线和斜渐近线．第六步：补充一些点，画出图形．3.解题方法：(1)利用中值定理证明等式不等式；(2)利用导数判断函数的单调性，极值，凹凸性，拐点，最值；(3)利用洛必塔法则求未定式极限．例1设在上连续，在内可导，，则在内至少存在一点，使：　　　　　　　　．分析：要证，，令8167f269b6c76a60b61449f12833b78a.doc　　　　　　　　　　-5-，由罗尔定理．例1设在上且可导，证明存在一点，使：分析：要证，，由拉格朗日定理，即可．应用微分中值定理，往往需要先建立辅助函数，使辅助函数满足中值定理的条件，从而利用中值定理的结论解决问题．例2证明方程在开区间内只有一个实根．

5、分析：证明方程只有一个根时，一般需分别证明存在性与唯一性，存在性的证明往往利用连续函数介值定理或罗尔定理证之，而唯一性则经常用反证法或借助函数的单调性来证明．例3证明不等式：．利用中值定理可以证明一些不等式．例4求下列极限：①　；②　；③　；④　；　⑤　；⑥　；⑦　（先令）．利用洛必塔求未定式极限，经常结合其它求极限的方法（如变量替换，恒等变形，等价无穷小替换，．．．）来求解，这样更简捷有效．例5求：①　；　　②　；对非连续变量不能直接使用洛必塔法则，一般先考虑连续变量，求出极限，再利用极限过程的任意性（令），得到所求极限的结果．例6利用函数单调性判别法试证：当时，8167f269b6c7

6、6a60b61449f12833b78a.doc　　　　　　　　　　-5-利用函数单调性证明不等式，首先作辅助函数，然后把不等式的证明转化为利用导数来研究函数的特征．例1讨论的增减区间，凹凸性，并求极值．定义域分成三部分，列表讨论例2求在上的最小值．例3求数列的最大项先讨论函数的函数性态．例4求曲线的渐近线．答案：是曲线的垂直渐近线；是曲线的（水平）斜渐近线．