《经济数学》-第二章导数与微分.ppt

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1、第2章导数与微分1.1导数的概念1.2导数的运算1.3微分结束定义设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域，记若存在，则称其极限值为y=f(x)在点x0处的导数，记为或2.1导数的概念导数定义与下面的形式等价：若y=f(x)在x=x0的导数存在，则称y=f(x)在点x0处可导，反之称y=f(x)在x=x0不可导，此时意味着不存在.左导数与右导数左导数:右导数:显然可以用下面的形式来定义左、右导数定理3.1y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0的左、右导数存在且相等.导数的几何意义当自变量从变化到时，曲线y=f(x)上的点由变到此时为割线两端点M0，M的横坐

2、标之差，而则为M0，M的纵坐标之差，所以即为过M0，M两点的割线的斜率.M0M曲线y=f(x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近时的极限位置M0P，因而当时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：所以，导数的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0))处的切线斜率.M0M设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：而当时,曲线在的切线方程为(即法线平行y轴).当时,曲线在的法线方程为而当时,曲线在的法线方程为例1求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:同理可得:特别地,.例2求曲线在点处的切线与法线方程.解:因为,由

3、导数几何意义,曲线在点的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为:即法线方程为:即2.1.2可导性与连续性的关系定理2若函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续.例3证明函数在x=0处连续但不可导.证因为所以在x=0连续而即函数在x=0处左右导数不相等,从而在x=0不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件即可导定连续,连续不一定可导.设函数u(x)与v(x)在点x处均可导，则:定理一2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则2.2导数的运算特别地,如果可得公式注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形例：设u=u(x),v=v(x

4、),w=w(x)在点x处均可导，则解：例2设解：例1解：即类似可得例3求y=tanx的导数基本导数公式表2.2.2基本初等函数的导数解：例4定理二如果函数在x处可导，而函数y=f(u)在对应的u处可导，那么复合函数在x处可导，且有或对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法注：2.2.3复合函数的导数例6解：解：例51.隐函数的导数例7求方程所确定的函数的导数解：方程两端对x求导得2.2.5隐函数的导数隐函数即是由所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出。即例8解：两边对x求导得可以表示为定义设函数在点的某邻域内有定义，处的增量在点如果函数处的微

5、分，可微，称为在点处在点高阶的无穷小，则称函数时其中A是与无关的常数，是当比2.3.1微分的概念2.3微分由微分定义，函数f(x)在点x0处可微与可导等价，且,因而在点x0处的微分可写成于是函数通常把记为，称自变量的微分，上式两端同除以自变量的微分，得因此导数也称为微商．f(x)在点x0处的微分又可写成dxf(x)在(a,b)内任一点x处的微分记为记为解：例1求函数y=x2在x=1,时的改变量和微分。于是在点处，2.3.3微分的运算法则1.微分的基本公式：2.微分的四则运算法则设u=u(x)，v=v(x)均可微，则（C为常数）；