经济数学导数微分习题与答案

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1、..第三章函数的导数与微分习题3-1 1.根据定义求下列函数的导数:(1)(2)(3)(a,b为常数)(4)解(1)因为===所以.(2)因为所以(3)因为==所以(4)因为=所以.2.下列各题中假定存在,按照导数的定义观察下列极限,指出A表示什么?(1)(2)(其中且)存在)(3)(其中存在)资料..(4)解(1)因为==故.(2)因为==故.(3)因为==故.(4)因为==故.3.已知,求解由已知易得当时,,当时,又==1==2即不存在.故.4.如果f(x)为偶函数,且存在,证明.证由于f(x)为偶函数,所以f(

2、-x)=f(x)则故.资料..5.讨论下列函数在处的连续性和可导性:(1)(2)(3)解(1)因为所以函数在处可导,从而也连续.(2)因为所以函数在x=0处可导,从而也连续.(3)因为所以函数在处连续.又因为故不存在,即函数在不可导.6.设函数,为使函数f(x)在x=1处连续且可导,a,b应取什么值?解由题意,有首先可得a+b=1即b=1-a又因为资料..所以a=2,于是b=-1.故当a=2,b=-1时,函数f(x)在x=1处连续且可导.7.求曲线在点(-1,1)处的切线方程.解因故曲线在点(-1,1)处的切线方程为

3、即.8*.设曲线f(x)=xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(an,0),求.解因为所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=n(x-1)切线与x轴的交点为,即从而习题3-2 1求下列函数的导数:(1)   (2)(3)     (4)(5)  (6)(7)      (8)解 (1).(2).(3).(4).(5)=.(6)=.(7)=.资料..(8)=.2.求下列函数在给定点的导数:(1),求(2),求(3),求和.解(1)因为,所以(2)因为所以.(3)因为=所以,.3.求的和.解注意到,有4.求曲线上

4、横坐标为的点处的切线方程和法线方程.解当时,,且有则=1习题3-3 1.求下列函数的导数:(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1)=.(2).资料..(3)=.(4).(5).(6)=.2.求下列函数的导数:(1)(2)(3)(4)解(1).(2).(3).(4)=.3.设可导,求下列函数的导数:(1)(2)(3)(4)(5)解(1).(2).=.资料..(3).(4).(5).4设解当x>0时,当x<0时,当x=0时,由得.故.5.设,证明.证由复合函数的求导法则,得将代入上式,可得资料..即.6.设函数f可导

5、,且y=f(a+t)-f(a-t),求.解因为故.*7设,求.解因为所以故.习题3-4 1.求下列函数的二阶导数:(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1).(2)因为=所以.资料..(3),.(4).(5).(6)=2.已知存在,且,求.(1)(2)解(1).(2).3.设f(x)的n阶导数存在,求.解因………………………………故.4.验证函数满足关系式.解因=故==.5.求下列函数的n阶导数的一般表达式:资料..(1)(2)解(1)因故.(2)故.*6设,求y(100).解而 习题3-5 1.求由下列方程确定的

6、隐函数的导数:(1)(2)(3)(4)(为常数)解(1)方程两边同时对求导,得解方程得.(2)方程两边同时对求导,得解方程得.(3)方程两边同时对求导,得解方程得.(4)方程两边同时对求导,得资料..解方程得.2.求曲线在点(e,1)处的切线方程。解将方程两边对x求导,得当x=e,y=1时,可得故所求切线方程为.*3设,其中x,y满足方程均可导,求.解由复合函数的求导法则,可得(1)因x,y满足方程,所以将方程两边对x求导,得(2)将(2)代入(1),并整理得.4.用对数求导法求下列函数的导数:(1)(2)(3)解(

7、1)取已知函数的绝对值的对数即两端同时对求导,得.(2)取已知函数的绝对值的对数两端同时对求导,得资料..故.(3)取已知函数的对数两端同时对求导,得=故.5.设.解在等式两边取对数,得两边对x求导,得注意到当x=1时,y=1,将其代入上式,可求得.6.设,求.解方程两端同时对求导,得(1)解方程得注意到当时,,可得由(1)式变形有,对其两边同时求导,得即故. 题3-6 1.求下列函数的微分:资料..(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1)=(2)=(3)=.(4)==.(5)方程两边同时微分,得.(6)方程两边

8、同时微分,得=.2.设,求.解因为==所以.3.设,求.解方程两边同时微分,得即=又因当时,,故.综合习题三 1.选择填空:(1)设f(x)可导且下列极限均存在,则()成立.资料..①②③④(2)下列函数在x=-1处可导的是().①②③y=∣1+x∣④(3)已知函数,则f(x)在x=0处().①导数②间断③导数=1④连续但不可导(4)已知则y′

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