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1、第三章函数的导数与微分习题3－1 1.根据定义求下列函数的导数:(1)(2)(3)(a,b为常数)(4)解(1)因为===所以.(2)因为所以(3)因为==所以(4)因为=所以.2.下列各题中假定存在,按照导数的定义观察下列极限,指出A表示什么?(1)资料(2)(其中且)存在)(3)(其中存在)(4)解（1）因为==故.(2)因为==故.(3)因为==故.(4)因为==故.3.已知,求解由已知易得当时,,当时,又==1==2即不存在.故.资料4.如果f(x)为偶函数，且存在，证明.证由于f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)则故.5.讨论下列函
2、数在处的连续性和可导性：(1)(2)(3)解(1)因为所以函数在处可导，从而也连续.(2)因为所以函数在x=0处可导，从而也连续.(3)因为所以函数在处连续.又因为故不存在,即函数在不可导.资料6.设函数，为使函数f(x)在x=1处连续且可导，a,b应取什么值？解由题意，有首先可得a+b=1即b=1－a又因为所以a=2,于是b=－1.故当a=2,b=－1时，函数f(x)在x=1处连续且可导.7.求曲线在点（-1，1）处的切线方程.解因故曲线在点（-1，1）处的切线方程为即.8*.设曲线f(x)=xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(an，0),
3、求.解因为所以曲线在点（1,1）处的切线方程为y－1=n(x－1)切线与x轴的交点为，即从而习题3－2 1求下列函数的导数：（1） （2）(3) (4)(5) (6)资料(7) (8)解 （1）.(2).(3).(4).(5)=.(6)=.(7)=.(8)=.2.求下列函数在给定点的导数：（1）,求（2）,求（3）,求和.解(1)因为,所以(2)因为所以.(3)因为=所以,.3.求的和.解注意到，有资料4.求曲线上横坐标为的点处的切线方程和法线方程.解当时，,且有则=1习题3－3 1.求下列函数的导数：（1）（2）（3）(4
4、)（5）(6）解(1)=.(2).(3)=.(4).(5).(6)=.2.求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）解（1）.(2).(3)资料.(4)=.3.设可导，求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）解（1）.（2）.=.(3).(4).(5).4设解当x>0时，当x<0时，资料当x=0时，由得.故.5.设，证明.证由复合函数的求导法则，得将代入上式,可得即.6.设函数f可导，且y=f(a+t)－f(a－t),求.解因为故.*7设，求.解因为资料所以故.习题3－4 1.求下列函数的二阶导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解(1
5、).(2)因为=所以.(3),.(4).(5).资料(6)=2.已知存在，且，求.（1）（2）解(1).(2).3.设f(x)的n阶导数存在，求.解因………………………………故.4.验证函数满足关系式.解因=故==.5.求下列函数的n阶导数的一般表达式：(1)(2)解(1)因故.（2）故.资料*6设，求y(100).解而 习题3－5 1.求由下列方程确定的隐函数的导数：（1）（2）（3）（4）（为常数）解（1）方程两边同时对求导,得解方程得.(2)方程两边同时对求导，得解方程得.(3)方程两边同时对求导,得解方程得.(4)方程两边同时对求导,得解方
6、程得.2.求曲线在点（e,1）处的切线方程。资料解将方程两边对x求导，得当x=e，y=1时，可得故所求切线方程为.*3设，其中x,y满足方程均可导，求.解由复合函数的求导法则，可得（1）因x,y满足方程,所以将方程两边对x求导，得（2）将(2)代入(1)，并整理得.4.用对数求导法求下列函数的导数：（1）（2）（3）解(1)取已知函数的绝对值的对数即两端同时对求导，得.（2）取已知函数的绝对值的对数两端同时对求导,得资料故.（3）取已知函数的对数两端同时对求导,得=故.5.设.解在等式两边取对数，得两边对x求导，得注意到当x=1时，y=1,将其代入
7、上式，可求得.6.设，求.解方程两端同时对求导，得(1)解方程得注意到当时，，可得由（1）式变形有，对其两边同时求导，得即故. 资料题3－6 1.求下列函数的微分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解(1)=(2)=(3)=.(4)==.(5)方程两边同时微分,得.(6)方程两边同时微分,得=.2.设，求.解因为==所以.3.设，求.解方程两边同时微分,得即=又因当时，,故.资料综合习题三 1.选择填空：(1)设f(x)可导且下列极限均存在，则()成立.①②③④(2)下列函数在x=-1处可导的是().①②③y=∣1+x∣④(3)已知函数，则f(x
8、)在x=0处().①导数②间断③导数=1④连续但不可导（4）已知则y′=().①②③u(x)④（5）设函数f(x)在点x=
