经济数学2(导数与微分

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1、第三章导数与微分这一章和下一章两章是关于一元函数的微分学部分。本章主要讨论导数的概念、性质、运算。对于函数的微分，在理论上和系统上都是更主要的概念，但却用的篇幅不多，似乎有点宣宾夺主。若注意到函数的可微性和可导性等价，函数微分性的许多内容都是基于导数的。第一节导数的概念一、问题的提出历史上，建立微积分的两个重要人物；英国的Newton和德国的Leibniz，他们虽然地处两地没有来往，分别从不同的物理和几何的角度提出了同一个问题，就是函数的导数的概念。1、英国的Newton从物理的角度提出质点运动的瞬时速度。运动学中质点位移S是时间的函数。在匀速运动时，时段上的平均速度

2、。而在变速运动时，显然速度也是时间的函数。那么时点的瞬时速度该如何刻划呢？Newton用极限的思想将其定义为：2、德国的Leibniz从几何的角度提出平面曲线的切线的问题。平面几何曲线在一点处切线该如何刻划？切线是条直线，在一点处只要知道其斜率就可确定。可见这个问题的关键是定义切线的斜率。在曲线上任意取一个动点，则M、P两点确定了原曲线的一条割线。它的斜率为：。当动点M沿曲线向P点逼近的极限位置就是P点处的切线，它的斜率应为：。二、导数的概念1、函数在一点处导数的定义。定义：对于在其定义域内一点处给一自变量增量对应得到函数增量,若在下与之比的极限存在，则称此极限值为在

3、点导数值，称在点可导，记为：。说明：1）导数即是“差商的极限”。2）极限值是一个确定的实数。点的导数值的表达有几种形式：，或，等，2、区域上的导函数定义：若函数在D上点是可导为的导函数。3、导数的几何意义　在点导数值就是曲线在点的切线的斜率。三、函数可导性与连续性之关系1、定理：可导必连续，连续未必可导。第二节求导运算微分法思路。先按定义寻求基本初等函数的求导公式，再讨论函数运算的求导法则，综合即可解决任意初等函数的求导问题。1、基本初等函数的导数公式基本初等函数有幂、指、对、三角、反三角五大类若干函数，求导公式为：1），补充：，2）显然3），显然4）5）6）7）8）

4、9）10），11），二、求导运算关于函数运算的性质１、关于四则运算定理：若函数都可导，则说明：特别是乘法：２、反函数求导法则定理：反函数的导数与原来函数的导数互为倒数，即的反函数为，则３、复合函数求导法则定理：复合函数，则或★推广：如果一个函数有三次复合，若，则复合函数的导数为所以常把它称为链锁规则。例：　　解：可看成则：4、总结这一套体系我们称为微分法。由此体会到对于初等函数做求导运算有多方便。它把求导这种求型极限的问题转换成了利用基本公式表结合运算法则的相对简单且机械的演算问题，稍加练习后就能熟练。熟记基本导数表及运算法则是最基本的，这里的难点是复合函数求导法则的

5、灵活运用。5、初等函数的求导运算举例例1：解：例2：解：例3：解：例4：解：第三节高阶导数函数可导，则其导函数是一个新的函数。若仍然可导，又可对其求导数，即是原来的二阶导数，以次类推可得n阶导数。在实际问题中，高阶导数是很普遍。例如运动学中，位移是时间的函数,其速度函数为其导数。而加速度就是位移的二阶导数。第四节微分这一节的主要内容是：1）微分的概念，微分与导数的关系。2）微分的运算。一、微分的概念定义：若函数在有定义点近旁取，其函数增量能分解成关于的线性主部与其高阶无穷小之和，即（A是与无关的常数），则称在点可微，称线性主部为在点的微分，记为。二、微分和导数的关系定

6、理：可微性等价于可导性。且：三、微分的运算由前面的分析，微分运算就是在求导运算基础上的一种书写形式，所以初等函数的微分法可以平行地推广过来。对应基本导数表可得基本微分表以及相应的函数运算的微分法则。但要强调说明的是，认识这些基本公式时，从学习的角度，必须要求大家能逆向记忆。要求大家还要熟练地由右至左记忆，例如，答案：或在这里记忆上多花点力气，为今后在积分的运算时奠定好基础。第四章导数的应用三、函数的动态研究内容：1、函数的单调性和极值性2、函数的凹凸性和拐点3。函数的渐近线一、函数的单调性1、函数单调的判别定理：若在D上可微，在D上递增（递减）的充要条件是：（）。2、

7、函数单调性的应用——证明不等式例：试证不等式：证明：设，则注意在时，，所以，即在时严格增。又所以证毕。二、函数的极值性定义：若，都有，则称为的极大值点，为极大值。f（x1）f（x2）x1x2同理,若，则为极小值点,为极小值。说明：函数的极值从几何上看是平面曲线沿Y方向上下波动的峰(极大值)和谷(极小值)，见图极值概念是局部性概念。某极小值完全可能大于另一个极大值。而极值点处正好是曲线由增到减(或由减到增)的分界点，所以讨论函数的极值性有广泛的意义。函数的极值实现在其极值点处，可见讨论函数极值性的主要矛盾集中在求极值点上。极值点的求取和判别1）驻点(或