第二章 导数微分及其应用ppt课件.ppt

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1、第二章导数微分及其应用7/29/20211大学数学基础微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。    微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元263年，刘徽为《九间算术》作注时提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。    积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求出

2、抛物线弓形的面积，没有用极限，是“有限”开工的穷竭法。微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨。解析几何为微积分的创立奠定了基础。7/29/20212大学数学基础第一节函数区间一、预备知识设a，b是两个实数，且a

3、学基础2.邻域7/29/20215大学数学基础例：2的0.001邻域为（1.999,2.001）2的0.001去心邻域为(1.999,2)∪(2,2.001)7/29/20216大学数学基础二、函数函数的概念7/29/20217大学数学基础注函数的表示方法有三种:数学表达式、列表和图形。7/29/20218大学数学基础7/29/20219大学数学基础2.复合函数设y是的z函数：y=f(z)，而z又是x的函数：z=g(x)。设D是g(x)的定义域或其一部分。如果对于x在D上取值时所对应的z值，函数y=f(z)是有定义的，将函数z=g(x)代入函数y=f(z)得y=f(g(

4、x))Dg(D)F(g(D))这个函数叫做由函数y=f(z)和z=g(x)复合而成的复合函数，记作f·g。变量z叫做中间变量。函数f的定义域gf7/29/202110大学数学基础例1.27/29/202111大学数学基础3.初等函数①基本初等函数7/29/202112大学数学基础②初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。7/29/202113大学数学基础7/29/202114大学数学基础第二节数列的极限无穷多个实数排成一列a1,a2,a3,…,an,…称为数列，记为{an}，其中的每一个数称为数

5、列的一个项，an称为数列的通项。1、数列的极限(1)、定义（1）3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，3.1415926，…；（2）2，4，8，16，…，2n，…；（3）1/2，1/4，1/8，1/16，…，1/2n，…；（4）1，-1/2，1/3，-1/4，…，(-1)n+1/n，…；（5）1，1/2，2/3，3/4，…，(n-1)/n，…；7/29/202115大学数学基础(2)、单调数列单调增加数列和单调减少数列统称单调数列。(3)、有界数列对于数列{an}，如果存在正数M，使得数列中的每一项an(n=1,2,3,…)都满足

6、不等式-MN的一切an，有不等式

7、an－a

8、<ε称数列an以有限数a为极限，常数a叫作数列{an}当n→∞时的极限。或者说数列{an}收敛到a，并记作如果数列没有极限，称数列是发散的。7/29/202117大学数学基础证明7/29/202118大学数学基础(5)定理若数列{an}收敛，那么{an}是有界数列。注：这个定理反映出处理有关“

9、无限”问题的一个基本思想：就是将无限转化为有限。7/29/202119大学数学基础2、级数①、定义把用加号连起来的无穷多个数称为无穷级数(简称级数)。例7/29/202120大学数学基础②、部分和及部分和数列设有级数级数的部分和为…7/29/202121大学数学基础7/29/202122大学数学基础例2.2证明所以因此7/29/202123大学数学基础3、函数的极限①、当x→x0时函数f(x)极限如果对于任意给定的ε>0，总存在一个δ>0，当0<

10、x-x0

11、<δ时，有

12、f(x)-A

13、<ε,则称当x→x0时函数f(x)以A为极限。注：定义中