第二章导数微分以及应用.ppt

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1、南京海天教育考研高辅课程高等数学授课人：周蔷2010年12月19日1听课要求：1.参考教材是知识体系的最大范围，而考试范围仅仅是教材的子集，对于（数一，二，三）要求是有差异的，并非教材上都是考点，即使考点也有主次之分，搞清楚主次有利于时间的利用率和复习重心的把握。2.上课记笔记回去可以找到依据来进一步消化3.以课堂讲授的概念为重点来消化知识和构建自己的知识体系，课后训练的习题均应以此为主线来选取强化理解，切不可偏离主线。2授课提纲：本章知识结构图表章节内容在考研中的知识点分布章节学习内容串讲配合习题讲解答

2、疑3一元函数微分学及其应用4第二章一元函数微分学及其应用数学一，二，三考研大纲中涉及本章知识点分布：理解导数和微分的概念与关系函数的可导性与连续性之间的关系导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程法线方程导数的物理意义，会用导数描述一些物理量导数的经济意义（含边际与弹性的概念）（数三）基本初等函数的求导公式，导数四则运算法则，会求复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的导数，分段函数的导数，利用一阶微分形式的不变性求函数的微分以及逆向凑微分．高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．6理解函数的

3、极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．会用导数判断函数图形的凹凸性（会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．（数一，数二）了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7近10年考研试题中与本章有关联的题型第二章一元函数微分学题型1与函数导数或微分

4、概念和性质相关的命题辨析（选择题）题型2函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定题型3函数在某点处的可导性及导函数的连续性，分段函数在分段点的可导性判断题型4求各种形式函数（包括复合函数、隐函数等）的导数题型5某些实际问题利用提炼导数模型来求解题型6函数性态（极值点、拐点、曲线的渐近线方程等）判定与求解题型7求一元函数在一点的切线方程或法线方程题型8求已知曲线的曲率（数二）题型9经济学中弹性相关的计算（数三）题型10函数单调性等性态的判断或讨论题型11证明不等式题型12证明某一区间至少存在一个点或两个点

5、使某个式子成立题型13证明方程根的唯一性8学习内容串讲：函数的几种表达形式：显函数形式反函数形式分段函数形式极限形式隐函数形式一般参数形式极坐标参数形式变限积分形式级数形式复合结构抽象函数其他形式91011一，导数的实际问题的模型1.变速直线运动的速度设质点运动函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为122.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线（割线MN的极限位置MT）(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率13两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线

6、密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题14二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.151.运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度2.曲线在M点处的切线斜率若上述极限不存在,在点不可导.就说函数的导数为无穷大.也称在则前面的实际问题模型均可以用导数的表达式进行改写16导函数的定义如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值则这一

7、对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数简称导数记作易见求导函数的步骤(1)求增量(2)算比值(3)求极限17例1.求函数的导数.解:则即类似可证得18基本求导公式19单侧导数1.左导数:2.右导数:函数f(x)在某点处可导左导数和右导数都存在且相等.函数f(x)在开区间(ab)内可导是指函数在区间内每一点可导函数f(x)在闭区间[ab]上可导是指函数f(x)在开区间(ab)内可导且在a点有右导数、在b点有左导数20.练习：判断是非(是：非：)：√×√√√×21.√×√22....

8、..23解:因为4.设存在,且求所以24例2.若且存在,求解:原式=且联想到凑导数的定义式机动目录上页下页返回结束25三、函数的可导性与连续性的关系：定理1.证:设在点x处可导,存在,因此其中故在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即26解：例3.讨论函数在x=0处不可导在x=0处的连续性和可导性27设解:又例4.所以在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.机动目录上页下页返回结束28解例