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《文科（全）高三文数第3讲：不等式3（教师版）——刘勉.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲不等式31．不等式证明的理论依据：不等式的概念和性质，实数的性质，以及一些基本的不等式：（1）若a∈R，则
2、a
3、≥0，a2≥0.（2）若a,b∈R，则a2+b2≥2ab.（3）若a,b∈R+，则（4）若a,b同号，则≥2.（5）若a,b∈R，则
4、
5、a
6、-
7、b
8、
9、≤
10、a+b
11、≤
12、a
13、+
14、b
15、2．证明不等式的基本方法： 比较法(作差、作商)，综合法，分析法，数学归纳法及反证法；另外还有如换元法、放缩法等。常用的放缩技巧有：；3.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形
16、结合法）（1）恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上（2）能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.（3）恰成立问题若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.规律方法指导（1）基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。（2）在用基本不等式
17、求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。（3）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用，用放缩法证明时放大或缩小应适度。例1若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.解析∵不等式对的所有实数都成立，∴当时，min{}＞0，设f(x)=，当0＜m＜1时fmin(x)=f(m)=-m2+2m+1＞0，解得，∴0＜m＜1；当m≤0时fmin(x)=f(0)=2m+1＞0，解得，∴；当m≥1时fmin(x)=f(1)=2＞0
18、成立，∴m≥1，综上例2已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围____解析∵不等式在实数集上的解集不是空集，∴a＞min{}，又∵≥
19、x-4-(x-3)
20、=1，∴a＞1。例3已知：,求证：.解析方法一：作差比较法作差：，∵，,＞0，＞0，∴，∴成立.方法二：作商比较法∵,∴＞0，＞0，作商：，∵,,∴，∴成立.方法三：分析法∵,∴＞0，＞0，欲证，只需证，即证，只需证：a3+b3≥ab2+a2b,即证：(a-b)2(a+b)≥0，∵，a≠b，∴a+b＞0，(a-b)2≥0，∴(a-b)2(a+b)≥0，∴成立.方法四：综合法∵，∴，∴,∴,∴,∴,两边除以得：成立.例4已知：
21、a，b，c∈R，求证：解析∵a2+b2≥2ab，∴2(a2+b2)≥(a+b)2，即,两边开方得：，同理可得，，三式相加，得：例5已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于. 解析（反证法）假设原结论不成立，即，则三式相乘有：……①，又∵0＜a,b,c＜1,∴.同理有：，以上三式相乘得，这与①矛盾，∴假设错误，原结论成立.例6用数学归纳法证明：.解析（1）当n=2时，左式=，右式=，∵，∴当n=2时，原不等式成立；（2）假设n=k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即,则当n=k+1时，左边=，右边=，要证左边＞右边，只要证＞，只要证，只
22、要证(2k+2)2＞(2k+3)(2k+1),只要证4k2+8k+4＞4k2+8k+3，即证4＞3.而上式显然成立，所以原不等式成立，即n=k+1时，左式＞右式.由（1),（2)可知，原不等式对均成立.A1.不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____2.若
23、a-c
24、＜
25、b
26、（a，b，c均为不等于零的实数），则下列不等式成立的是（C）A.a＜b+cB.a＞c-bC.
27、a
28、＜
29、b
30、+
31、c
32、D.
33、a
34、＞
35、b
36、-
37、c
38、3.设1＞a＞0，方程
39、x+logax
40、=
41、x
42、+
43、logax
44、的解是（B）A.0＜x≤1B.x≥1C.x≥aD.0＜x≤a4.已知
45、a
46、＞1，
47、b
48、＞1,求证：.解：要证成
49、立，只需证
50、a+b
51、＜
52、1+ab
53、,只需证(a+b)2＜(1+ab)2，即证a2+b2+2ab＜1+a2b2+2ab，只需证a2+b2-1-a2b2＜0，即证(a2-1)(1-b2)＜0,∵
54、a
55、＞1，
56、b
57、＞1,∴a2-1＞0，1-b2＜0，∴a2-1)(1-b2)＜0成立，∴成立.B1.设x，y是实数，且4y2+4xy+x+6=0，则x的取值范围是（C）A.-3≤x≤2B.-2≤x≤3C.x≤-2或x≥3D.x≤-3
