文科（全）高三文数第18讲：数列3（教师版）——刘勉.docx

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1、第19讲数列31.公式法：已知数列为等差数列或等比数列；2.Sn与an的关系：；3.累加法：an+1=an+f(n)或an+1-an=f(n)；4.累乘法：an+1=an·f(n)或；5.构造法：an+1=kan+b（k≠0，b≠0）。例1正数数列{an}的前n项和Sn，且2Sn=an+1，求数列{an}的通项公式。解析4Sn=(an+1)2=an2+2an+1……①，∴4Sn+1=an+12+2an+1+1……②，②-①得4an+1=an+12-an2+2an+1-2an，整理得an+1-an=1，∴数列{an}为公差为

2、1的等差数列，又4a1=4S1=a12+2a1+1，解得a1=1，∴an=n。例2在数列{an}中，a1=2，anan+1=13n，求数列的前2n项和S2n。解析∵……①，∴……②，②÷①得，∴数列{a2n}与数列{a2n-1}均为以为公比的等比数列，又a1=2，∴，∴，，∴。例3数列{an}满足a1=12，an+1=an+14n2-1，求an。解析∵an+1=an+14n2-1，∴∴。例4数列{an}满足a1=2，an+1=n+1nan，求an。解析∵an+1=n+1nan，∴。例5数列{an}满足a1+2a2+3a3+

3、…+nan=2n，求数列{an}的通项公式。解析∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n……①，∴a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2(n-1)……②，∴①-②得nan=2，∴。例6数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，对于任意n≥2，n∈N+，3Sn-4，an，2-32Sn-1成等差数列，求{an}的通项公式。解析∵3Sn-4，an，2-32Sn-1成等差数列，∴，……①∴，……②，①-②得，∴数列{an}为公比为的等比数列，∴。例7在数列{an}中，a1=1，an+1-2an=3。（1）求常数t，使{an

4、-t}成为等比数列；（2）求{an}的通项公式。解析（1）若{an-t}为等比数列，则an+1-t=k(an-t)，∴an+1=kan+t-kt，∵an+1-2an=3，∴，解得t=-3；（2）由（1）得{an+3}为首项a1+3=4，公比为2的等比数列，∴an+3=4·2n-1=2n+1，∴an=2n+1-3。A1.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（C）A.B.C.D.2.已知数列｛｝中，，，则__2n-1____.3.数列…的通项公式为________.4.已知数列中，是它的前项和，并且，．（1）设

5、，求证是等比数列；（2）设，求证是等差数列；（3）求数列的通项公式及前项和公式。解：（1）∵……①，∴Sn=4an-1+2……②，①-②得an+1=4an-4an-1，即an+1-2an=2(an-2an-1)，∴bn+1=2bn，∴是等比数列；（2）由（1）得an+1=4an-4an-1，∴，∴Cn+1=2Cn-Cn-1，即2Cn=Cn+1+Cn-1，∴是等差数列；（3）∵，∴当n=2时，a1+a2=4a1+2，∴a2=5，∴b1=b2-2a1=3，∴由（1）得bn=3·2n-1，∴an-2an-1=3·2n-1，∴，∴

6、数列{}为公差为的等差数列，∴，∴an=2n()。B1.数列，…的一个通项公式为________.2.已知数列{an}的前项和为Sn=2n2–n，则该数列的通项公式为__4n-3_____.3.已知数列中的，且，则_______.4．已知图1是一个边长为1的正三角形，三边中点的连线将它分成四个小三角形，去掉中间的一个小三角形，得到图2，再对图2中剩下的三个小三角形重复前述操作，得到图3，重复这种操作可以得到一系列图形．记第个图形中所有剩下的小三角形的面积之和为，所以去掉的三角形的周长之和为．(I)试求，；(II)试求，．解

7、：由已知得，∴数列{an}是等比数列，，∴，∴；，∴数列{bn}是等比数列，b1=3，∴，∴。16．已知函数，数列满足，．（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和。解：（1），，即，∴；（2）由（1）得，∴数列{}为等差数列，∴=3+2(n-1)=2n+1，∴；（3），∴。C1.已知数列满足，且，则通项公式__2n-1____.2.已知数列中，，，则数列通项___________3.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1，a3，a15成等比数列，求数列{an}的通

8、项an。解：∵10Sn=an2+5an+6……①，∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3，又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)……②，由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0，∵an+an－1>0，