文科（全）高三文数第19讲：数列4（教师版）——刘勉.docx

《文科（全）高三文数第19讲：数列4（教师版）——刘勉.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第19讲数列41.数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若（1）P(n0)成立；（2）假设P(k)成立（k≥n0），可以推出P(k+1)成立，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立。2.数学归纳法的应用恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等凡涉及关于正整数的且可递推的数学命题均可用数学归纳法证明。3.数列应用题的解答与设计遵循“设、列、解、答”四个环节。4.常见的数列应用主要体现在整除问题中的计数、增长率问题、分期付款问题和其它相关问题等几个方面。例1某公司全年的

2、利润为b元，其中一部分作为资金发给n位职工，资金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相等）从大到小，由1到n排序，第1位职工得资金bn元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。（1）设ak（1≤k≤n）为第k为职工所得资金金额，试求a2，a3，并用k，n和b表示ak（不必证明）；（2）证明：ak＞ak+1（k=1，2，…，n-1）。解析（1）第1位职工的奖金；第2位职工的奖金；第3位职工的奖金；……第k位职工的奖金；（2）＞0，∴ak

3、＞ak+1。体现了“按劳分配”。例2已知{an}是首项为2，公比为12的等比数列，Sn为它的前n项和。（1）用Sn表示Sn+1；（2）是否存在正整数c和k，使得Sk+1-cSk-c＞2成立。解析（1），∴；（2）＞2＞0＜0……①，∵c∈N+，，当c∈{1，2，3}时，＞c，此时①c＜Sk＜……②，把代入②，得……③，把c=1，2，3分别代入③，分别得到＜2k＜2，2＜2k＜3，4＜2k＜6，与k∈N+矛盾；当c=4时，①1＜0矛盾；当c≥5（c∈N+）时，＜c，此时①＜Sk＜c……④，此时……⑤，由④⑤＞

4、＞矛盾，综上所述，不存在自然数c，k，使Sk+1-cSk-c＞2成立。例3试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N+且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn。解析（1）设a、b、c为等比数列，，c=bq（q＞0且q≠1），∴，又q≠1，∴，∴上式等号不成立，∴an+cn＞2bn；（2）设a、b、c为等比数列，则，只要证明（n≥2且n∈N+），下面用数学归纳法证明：①当n=2时，由a≠c，则＞0，∴；②假设n=k（k≥2）时命题成立，即……①，则当n=k+1时，由①得：＜0，即

5、成立。综上所述，命题成立。例4在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an，Sn，Sn-12成等比数列。（1）求a2，a3，a4，并推出an的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论；（3）求数列{an}前n项的和。解析（1）∵an，Sn，Sn-12成等比数列，∴（n≥2）……①，由a1=1根据①式，分别令其中的n=2，3，4，得，由此可猜想：；（2）当n=1时，结论显然成立，下面用数学归纳法证明：当n≥2时，成立。①当n=2时，由（1）的结论知命题成立；②假设n=k（k≥2）时，……②成立；当n=k+1时

6、，首先由①得：……③，把②代入③得或，由（1）中a1，a2，a3，a4的结果知，应舍掉，∴……④，再由①得……⑤，把④代入⑤，得，即n=k+1时命题也成立。（3）由（2）得数列前n项和。例5已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，如果在一种算法中，计算x0k（k=2，3，4，…，n）的值需要k-1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pn(x0)的值共需要次运算。下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0，Pk+1(x)=xPk(x)

7、+ak+1（k=0，1，2，…，n-1），利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算Pn(x0)的值共需要次运算。解析；2n例6用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除，其中n∈N+。解析（1）当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除；（2）假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，即存在M∈Z，使42k+1+3k+2=13M，∴3k+2=13M-42k+1……①，则当n=k+1时，由①得42k+3+3k+3=42k+3+3k+2·3=42k+3+3(13M-42k+1

8、)=13(42k+1+3M)能被13整除，即n=k+1时，命题成立。综上，当n∈N+时，42n+1+3n+2能被13整除。A1.已知f(n)=（2n+7）·3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为（C）A.30B.26C.36D.62.用数学归纳法证明3k≥n3（n≥3，n∈N）第一步应验证（C）A.n=1B.n=2C.n=3D.n=43.观察下列式子：1+122＜32，1