数学物理方法§02-3-07

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1、王瑞平：数学物理方法-第二章第3节§2-3解析函数积分性质2——柯西积分公式柯西公式给出解析函数f(z)区域点和边界点的关系，说明解析函数的值之间有着密切的联系。一、柯西（Cauchy）公式定理5（柯西公式）：f(z)在区域z∈B解析函数，则有：1f(ς)f(z)=∫dς[1]i2πcς−z式中C为B的境界线，ζ是境界线上的点。[1]式即为柯西公式，它说明区域上的解析函数可由境界线的值确定。f(ς)证明：被积函数在B内不解析。以z为圆心，为半径r做小圆cr，由Cauchy定理：ς−z∫=∫⑴Ccriφiφ令：ζ-z=re，dζ=iredφ⑵⑴式化为：iφf(ς)2πf(z+re)iφ2πiφd

2、ς=iredφ=if(z+re)dφ=i2πf(z)∫c∫0iφ∫0rς−zre（r→0）⑶1f(ς)∴即有：f(z)=∫dς⑷i2πcς−z#C-R条件从微分的角度说明解析函数实虚部函数之间的关系；而柯西公式从积分的角度说明了解析函数各值之间的关联。更一般地，对复连通区域上定义的解析函数有：n1f(ς)1f(ς)f(z)=∫dς−∑∫dς[2]i2πcς−zi=1i2πciς−z其中：c为外环路；ci为第i个内环路。都为顺时针方向。二、柯西公式的推论（其它积分性质）1王瑞平：数学物理方法-第二章第3节推论1（高阶导数存在定理）：解析函数存在任意阶导数，且：(n)n!f(ς)f(z)=dς[2

3、]i2π∫c(ς−z)n+1[2]式也称做Chauchy公式。推论1说明解析函数是充分平滑的，它的积分、微分全为解析函数。推论2（模数原理）：闭区域上，解析函数极大模max

4、f(x)

5、只能在境界线上。即：

6、f(z)

7、≤M(ζ)[3]式中M(ζ)=sup

8、f(ζ)

9、是境界线上f(z)的极大模。特别地当点z0在圆心时，有一般柯西不等式：(n)n!Mf(z)≤[4]0nR推论3（刘维（Liouville）定理）：如果f(z)在全平面解析，且

10、f(z)

11、有界，则f(z)为常数。证明：1、由数学归纳法：n=0时，即为柯西公式[1]；n=1时，ζ-z≠0，由⑴式柯西公式，对z求导：'1f(ς)f(z)=d

12、ς⑴i2π∫c(ς−z)2成立。令n=k-1时成立：(k−1)(k−1)!f(ς)f(z)=dς⑵i2π∫c(ς−z)kn=k时，有：(k)(k−1)'(k−1)!(−k)(−1)f(ς)k!f(ς)f(z)=f(z)=dς=dς⑶i2π∫c(ς−z)k+1i2π∫c(ς−z)k+1成立。m2、由⑴式：对函数f(z)利用不等式mmm1f(ς)Mc

13、f(z)

14、≤

15、∫dς

16、≤⑷2πcς−z2πd式中d=inf

17、ζ-z

18、是z到边界点最短距离；M=sup

19、f（ζ）

20、；c为境界线周长。即：1/m⎛c⎞

21、f(z)

22、≤M⎜⎟=M(m→∞)⎝2πd⎠从物理上讲，解析区域为无源场，外部源强导致在边缘处场强最大。

23、2王瑞平：数学物理方法-第二章第3节由(n)n!f(ς)f(z)=dςi2π∫c(ς−z)n+1对圆心：(n)n!Mn!M

24、f(z)

25、≤

26、dς

27、=02πRn+1∫cRn3、由柯西不等式：MR

28、f'(z)

29、≤⑸R当R→∞时，f’(z)=0，即：f(z)=C。物理上考虑，此时肯定找不到源。#习题P383