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1、高等数学学习方法(FIC)系列讲座3：导数应用------思想和方法是学习中最有价值的部分卜长江Email:buchangjiang@hrbeu.edu.cnTel:82519384（O）哈尔滨工程大学理学院应用数学系2008.11.18哈尔滨工程大学理学院，卜长江中值定理1.罗尔中值定理:若f()x在[,]ab上连续,在(,)ab内可导,且f()a=f()b,则至少存在一点ξ∈(,)ab,使得f′()0.ξ=2.拉格朗日中值定理:若f()x在[,]ab上连续,在(,)ab内可导,f()b−f()a则至少存在一点ξ∈(,)ab,使得f′()ξ=.ba−推论:如果在区间I上f′(
2、)0x≡,则在区间I上f()xc≡.哈尔滨工程大学理学院，卜长江3.柯西中值定理:若f(),()xgx在[,]ab上连续,在(,)ab内可导且g′()0x≠,则至少存在一点ξ∈(,)ab,使得fbfa()−()f′()ξ=.gb()−ga()g′()ξ哈尔滨工程大学理学院，卜长江4.泰勒中值定理:若fx()在x点某邻域内有n+1阶导数,则对0此邻域内的x至少存在一点ξ(ξ介于x和x之间),使得0112fxfx()()=+fxxx′′()(−)+fxxx′()(−)000001!2!1()nn++"fxxxRx()(−)+()00nn!(1n+)f()ξn+1其中Rx()=−(x
3、x)称为拉格朗日型余项.n0(1n+)!哈尔滨工程大学理学院，卜长江另外若f()x在x点某邻域内有n阶导数,则0112f()()xfx=+fxxx′′()(−)+fxxx′()(−)000001!2!1()nnn++"fxxxoxx()(−)(+(−))000n!n上式称为皮阿诺型余项的泰勒中值定理,其中oxx((−))称为0皮阿诺型余项.哈尔滨工程大学理学院，卜长江注：1.罗尔中值定理主要说明是导函数方程fx′()0=有根ξ的问题。2.四个中值定理的核心是罗尔中值定理，其它中值定理是罗尔中值定理的推论。即要证f′()0x=有根ξ，只要找到f()x，f()x在[,]ab上连续,
4、在(,)ab内可导,则fx′()0=在(,)ab内有根ξ。哈尔滨工程大学理学院，卜长江*.方程根的问题：⎧⎧方法连续函数零点定理1:⎪存在性⎨⎨⎩方法:罗尔定理(原函数法2)⎪⎩个数:图像法单调性,极值最值等:,哈尔滨工程大学理学院，卜长江例设f()x在[0,1]上连续,在(,)ab内可导,ff(0)==(1)0，证明在(0,1)内至少存在一点ξ,使ff′()ξ=()ξ。分析：要证存在一点ξ,使ff′()ξ=()ξ，即要证方程fxfx′()=()有根ξ，要找F()x，使得F′()0ξ=⇒ff′()ξ=()ξ。fx′()fx′()=⇒=fx()1(ln())1⇒fx′=fx()⇒
5、−′=⇒−=⇒=−xC1(ln())0ln()fxxfxxCf()xee1−x证明设F()xfx=()e，F(0)==F(1)0，由罗尔定理∃∈ξ(0,1)，使得F′()0ξ=，即ff′()ξ=()ξ。哈尔滨工程大学理学院，卜长江例设fx()在[0,1]上连续,在(,)ab内可导,ff(0)==(1)0.证明在(0,1)内至少存在一点ξ,使ff′()2()ξ=ξξ。哈尔滨工程大学理学院，卜长江例拉格朗日中值定理：若fx()在[,]ab上连续,在(,)ab内可导,则至少存在一点ξ∈(,)ab,使得fbfa()−()f′()ξ=.ba−哈尔滨工程大学理学院，卜长江例柯西中值定理:若
6、fxgx(),()在[,]ab上连续,在(,)ab内可导且g′()0x≠,则至少存在一fbfa()−()f′()ξ点ξ∈(,)ab,使得=.gb()−ga()g′()ξ哈尔滨工程大学理学院，卜长江例若fx()在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，则∃ξ∈(,)ab使ff()ξ−()bf′()ξ=a−ξ(4)例设f()x在(,)−∞+∞上有四阶导数，f(0)=0，且
7、(fxM)
8、≤，fxfx()+()−M2证明∀xx∈−∞+∞(,),0≠，有
9、(fx′′0)−≤
10、2x12哈尔滨工程大学理学院，卜长江例若f()x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(0)=0,(1)1f=证
11、明（1）∃ξ∈(0,1)使f()1ξ=−ξ；（2）∃η∈(0,1),使ff()η+ηηη′()21+=。111例方程++=<0(aaa<)有几个不等实根？123xaxaxa−−−123哈尔滨工程大学理学院，卜长江考试科目:高等数学A(一)期中考试（2008.11.14）第三大题3.设f(x)在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且⎛1⎞f)0(=0，f(1)=0，f⎜⎟=1.⎝2⎠⎛1⎞证明：（1）存在ξ∈⎜1,⎟，使f(ξ)=ξ；⎝2⎠f′(η)−1（2）存在η∈,0(ξ)，使=2008
