高等数学第3章导数的应用

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1、定理1(罗尔中值定理)若函数y=/(无)满足条件：(1)在闭区间［词上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)f(a)=・则至少存在一点gw(a,b)，使得广©=0.9【例1】验证函数/(x)=-x3-x在区间［-73,^3］上满足罗尔定理.证明因为f(x)=-x3-x满足：(1)在闭区间［-V3,V3］上连续；(2)在开区间(-73,73)内可导；(3)/(-V3)=/(V3)=0,所以由罗尔中值定理知，至少存在一点^e(->/3,V3),使得3.1洛必达法则3.1.1中值定理设y=/(x)是闭区间［a,b］上一条连续曲线段，如图3・1所示，如果其上每点都有不

2、垂直于x轴的切线，且曲线段的始点A与终点B高度相同的话，那么曲线上至少有一点P(§,使得曲线在点P处的切线是水平的，或者说切线是与弦AB平行的.这一几何事实抽象出來，就是如下定理：广(§)=0.事实上，f(x)=x2-1,令/©)=0,有兀二±1,取§=1即验证了罗尔小值定理的正确性.在罗尔中值定理的条件中，当f(a)f(b)时，对应的函数曲线如图3・2所示.此时，虽然P点处的切线不水平了，但它仍与弦AB平行，而弦的斜率为理二，曲线在点P处的切线的斜率为化),于是有如b-a下定理：定理2(拉格朗日值中值定理)若函数j=/(%)满足条件(1)在闭区间［a,h］上连续；

3、(2)在开区间@上)内可导.则至少存在一点兵(a,b),使得止)=件如b-a这个等式也可写成拉格朗日中值定理是微积分学重要定理Z—,它准确地表达了函数在一个闭区间上的平均变化率(或改变量)和函数在该区间内某点处导数ZI'可的关系，它是用函数的局部性来研究函数的整体性的工具，应用十分广泛.【例2］对于函数/(x)=lnx,在闭区间［1,c］上验证拉格朗日定理的正确性.解对于函数/(x)=Inx在闭区间上［1,e］连续，在区间(1,e)内可导，又/(l)=lnl=O,/(e)=lne=l,r(x)=丄，x由拉格朗日中值定理，存在§w(l,e),使得lne-lnl1e-l

4、从而解得§=€-1w(1,e).【例3】若0vavb,证明上纟vln^v上纟.baa证明设/(x)=lnx,xe［a,b］.因为f(x)=Inx在区间[d,勿上连续，在(Q,b)内可导，所以满足拉格朗FI屮值定理的条件,于是而/⑷=a9f(b)=b9fx)=-fX代入上式为inb-a=In—=丄(b-a)(avgvb)・a§又因为111bga所以b-a.bb-a

5、)=0,则在⑺,仍内/(x)为一常数.证明在区间(d,b)内任取两点X,,x2(Xj

6、ctanx+arccotx)f==01+jC1+Q故/(x)=C(C为常数)，又因为1G（_8,+oo），而/(l)=arctan1+6zrccot1=—所以c=-,即271arctanx+arccotx=—.23.1.2洛必达法则如果当（或XToo）时，两个函数/（X）与g（X）都趋于零或都趋于无穷大，那末极限lim/凶可能存在、也可能不存在，阻）g⑴0OO通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为工或一•对于不定式，0OO即使它的极限存在，也不能用“商的极限等于极限的商”这一法则来求.为此，我们介绍一种求不定式极限的重要方法，这就是洛必达法则.1・”®'型不定式0定

7、理3（洛必达法则1）设函数/（x）,g（兀）满足条件(1)limf(x)=limg(x)=0；.r—>.r0・YTXo(2)f(x),g(x)在点兀0的某邻域内(点兀o可除外)可导,且g©)丰0；(3)lim—A(或为无穷大).fg(%)则lim凹=lim厶⑷=A（或为无穷大）.fog（x）宀0g（x）定理3中，把XTX。换为兀Too时，结论也成立.解这是吟型不定式，由洛必达法则，有如果lim厶凶仍是型,且fx)9gx)仍满足定理中fo8(兀)0/(x),g(x)所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即rfx)fx)/"(x)lim=lim/二l