资源描述：
《高等数学导数的应用ppt.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章导数的应用第一节微分中值定理第二节函数的性质第三节洛必达法则第二节函数的性质一.函数的单调性二.函数的极值本节主要内容:三.函数的最值四.曲线的凹凸性五.曲线的渐近线六.函数的分析作图法一、函数的单调性定理3.2.1（函数单调性的判定法）设y=f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则（1)如果在(a,b)内f(x)>0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；（2)如果在(a,b)内f(x)<0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少．（1）求函数单调区间（2）证明不等式，通常是两项不等式利用导数性质来判断函数的性质，它包含两个典型的问题：单调性的应用例1讨
2、论函数y=x3的单调性.y=x3的定义域为(-,+)；y=3x2，当x∈(-,0)和(0,+)时，y>0由函数图像可知函数在(-,+)上是单调递增的当x=0时，y=0当f(x)在某区间内仅在个别点处的导数为0或不存在，而在其余各点处导数均为正（或负）时，f(x)在该区间仍是单增（或单减）的。解例2讨论函数f(x)=ex-x-1的单调性.函数的定义域为(-,+)；当x>0时，y>0,函数在(0,+)上单调增加当x<0时，y<0,函数在(-,0)上单调减少当x=0时，y=0；y=ex-1，x=0为单调区间的分界点解当f(x)在定义区间除去有限个点外导数均存在,那
3、么只要用导数为零的点(驻点)和导数不存在的点来划分f(x)的定义域，就能保证在各个部分区间上单调。（单调区间的分界点为驻点和不可导点）当x>0时，y>0,函数在(0,+)上单调增加当x<0时，y<0,函数在(-,0)上单调减少当x=0时，y不存在.函数的定义域为(-,+)；x=0为单调区间的分界点解例3讨论函数的单调性.（1）确定f(x)的定义域；（2）求出函数在考察范围内的全部驻点和不可导点（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；（3）用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区间；（4）确定f(x)在各部分区间的符号，据判定定理判定出f(x)的单调性求函数单调区间
4、的步骤：例4求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的单调区间.（2）f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，无不可导点令f(x)=0，得x1=-1,x2=3．（3）它们将定义域划分为三个子区间：(-,-1),(-1,3),(3,+)；（1）函数的定义域为(-,+)；(-,-1)-1(-1,3)3(3,+)+0-0+驻点驻点所以(-,-1]和[3,+)是单调增区间，[-1,3]是单调减区间．解令f(x)=0，得,x2=4/5．（3）将定义域分为三个区间(-,0),(0,4/5),(4/5,+)；（1）函数的定义域为(-,+)；(-,0)0(0,4/5
5、)4/5(4/5,+)+不存在-0+不可导点驻点所以(-,0]和[4/5,+)是单调增区间,[0,4/5]是单调减区间．例5求函数的单调区间.（2）,不可导点为x1=0.解例6证明：当x>0时，ex>1+x．f(x)=ex-1所以x∈[0,+),有f(x)>f(0)=0，即ex-1-x>0令f(x)=ex-1-x，则f(x)在[0,+)上连续、可导,且当x>0时，y>0,函数在[0,+)上单调增加所以当x>0时，ex>1+x利用单调性证明不等式证明又因为：f(0)=0，所以：当x>0时，y>0,函数在[0,+)上单调增加所以x∈[0,+),有f(x)>f(0)，即不
6、等式成立.例7证明：令则证明oxyy=ƒ(x)Mmab设函数y=ƒ(x)在(a‚b)内图形如下图:在1处的函数值f(1)比它附近各点的函数值都要小;而在2处的函数值f(2)比它附近各点的函数值都要大;但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,为此,我们引入极值与极值点的概念.二、函数的极值定义3.2.1设函数f(x)在x0的某领域N(x0,)内有定义，，都有（1）f(x)f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极小值．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．注：1、极值是指函数
7、值，而极值点是自变量的值；2、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较，该点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大；3、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。f(x)的极小值点:f(x)的极大值点:定理3.2.2（极值的必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么函数f(x)在点x0处的导数为零，即f(x0)=0．极值的必要条件1、
