高等数学中导数求解和应用

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1、高等数学中导数求解和应用摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然而导数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求解方法和在实际中的应用。关键词：高等数学导数求解应用导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。一、导数

2、的定义1•导数的定义设函数y=f(x)在点xO的某一邻域内有定义，如果自变量x在xO的改变量为Zix(xOHO,且x0±Ax仍在该邻域内)时，相应的函数有增量二f(xO+Ax)-f(x0)o若ZSy与Ax之比，当Zxf0时，有极限lim=lim存在，就称此极限为该函数y二f(x)在点xO的导数，且有函数y=f(x)在点x=xO处可导，记为f'(x0)o2•导数的几何意义函数y=f(x)在点xO处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点(xO,f(xO))处的切线斜率，即f'(xO)=tan,其中是切线的倾角。如果y二f(x)在点xO处的导数

3、为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=xO为极限位置，即曲线y=f(x)在点(xO,f(xO))处具有垂直于x轴的切线x=xOo根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线y二f(x)在点1x0,f(xO))处的切线方程。二、导数的应用1.实际应用假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元,关于生产数量X的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时的产量。解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之

4、和：总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000总收入的函数R(x)=px=30x(常数p是产品数量)总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000边际收入R(x)r=30边际成本C(x)=0.02x+20边际利润I(x)=-0.02x+20令I(x)二0得-0.02x+20=0,x=1000o也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。1.洛必达法则的应用如果当X—a(或X—°°)时，两个函数f

5、(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限lim可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一重要法则。下面我们会得出这一类极限的一种简便并且很重要、很实用的方法。定理1,设：(1)当x—a时函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的某去心领域内，两个函数f(x)与F(x)的导数都存在且F(x)的导数不等于零；(3)当X—a时函数f(x)的导数与函数F(x)的导数比的极限存在(或为无穷大)；那么lim的极限存在就等于函数f(x)的导数与函数F(x)的导数

6、比值在x—a时的导数。这种在一定的条件下通过运用分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法就称为洛必达法则。定理2,设：(1)当xf°°时函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的某去心领域内，两个函数f(x)与F(x)的导数都存在且F(x)的导数不等于零；(3)当X—8时函数f(x)的导数与函数F(x)的导数比的极限存在(或为无穷大)；那么lim的极限存在就等于函数f(x)的导数与函数F(x)的导数比值在时的导数。洛必达法则是计算未定式极限的一个重要并且效果很好的法则。尽管洛必达法则计算省时方便，但极易出错，下面是应用这个法则

7、时应注意的问题：在使用洛必达法则之前必须看好极限是不是型或型，若用过洛必法则之后还是型或型，就继续使用，直至得出所要求的结果。在使用洛必达法则时，要尽最大可能联系和极限相关的性质一起使用，使用极限的性质处理问题，先做一定恰当的处理，最后用洛必达法则求解出结果。1.判定函数的单调性的应用函数单调性的判定方法：函数在区间上单调增加(或递减)是函数的单调性。下面利用导数的概念对函数的单调性进行一些研究。如果函数y=f(x)在［a,b］上单调增加(单调减少)，那么它的图形是一条沿着横轴正向上升(或下降)的曲线。这时，各点处的斜率是非负的(非正的)，

8、即y'二f'(x)20［y'=f'(x)W0)。由此可见，函数的单调性与导数的符号有着紧密的联系。反过来，用导数的符号来确定函数的单调性是不是可行呢？这就需要我们用相关的定理来证