高等数学--35 导数在经济中的应用.ppt

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1、第五节导数在经济中的应用3.5.1常用的经济函数（1）需求函数设P表示商品价格，Qd表示对该商品的需求量，那么有Qd=f(P),称为该商品的需求函数；需求函数是单调减少的。（2）供给函数设P表示商品价格，Qs表示该对商品的供给量，则称Qs=f(P)为该商品的供给函数。供给函数是单调增加的。1例1：设某商品的需求函数Qd=f(P)＝a-bP；供给函数Qs=f(P)=-c+dP.市场上供需平衡时的价格称为均衡价格。则均衡价格为：供需平衡时有：Qd＝a-bP＝Qs=-c+dP.2蜘蛛网模型——均衡价格的动态解释P1P2P3P4Qd=f(P)Qs=f(P)3（4）总收益（收入

2、）函数设Q表示商品的销售量，P表示商品价格，则销售该商品的总收益为R＝QP＝R(Q)，称为总收益（收入）函数。（3）总成本函数设Q表示产品的产量，C表示总成本，则称C=C(Q)为总成本函数，Q＝0时，称C(0)为固定成本，称为平均成本函数。总成本函数是单调增加的，但平均成本函数一般不单调。4若逆需求函数为P=f(Q)，则总收益函数为：R＝QP＝Qf(Q)。（5）利润函数设Q表示产品的产量，L表示利润，则称L=L(Q)为利润函数。若总成本函数为C(Q)，总收益函数R(Q)，则利润函数L(Q)＝R(Q)－C(Q)。5解：（1）固定成本C(0)＝500，平均成本函数：（2）

3、总收益函数为：R＝QP＝Qf(Q)＝Q(10-0.01Q)=10Q-0.01Q2。（3）利润函数为:L(Q)＝R(Q)－C(Q)＝8Q-0.01Q2-500例2：某商品需求量Q与价格P之间的函数的关系为Q＝1000－100P，总成本函数为C(Q)＝2Q＋500。求：（1）固定成本和平均成本函数。（2）总收益函数。（3）利润函数。63.5.2边际与边际分析若y=f(x)是一个可导的经济函数，则称f／(x)为经济量y对经济量x的边际，或称f／(x)为f(x)为的边际函数。其经济意义是当经济量x增加一个单位时，经济量y增加f／(x)个单位。若总成本函数为C(Q)，则称C／(

4、Q0)为产量Q0时的边际成本。其经济意义是当产量为Q0时再增加一个产量，总成本将增加C／(Q0)。因为当Δx＝1<

5、0时边际收益R／(Q0)＝10-0.02Q。因为利润函数L(Q)＝8Q-0.01Q2-500，所以产量为Q0时边际利润L／(Q0)＝8-0.02Q。93.5.3弹性与弹性分析经济函数y=f(x)在x0处可导，函数的相对改与点x0＋Δx之间的弧弹性。变量改变量与自变量的相对称为函数f(x)在x010当记作：称为函数y=f(x)在x0处的弹性。若f(x)是可导函数，则称为f(x)的弹性函数。11弹性的经济意义是当经济量x增加1％时，经济量y增加％。设某商品需求函数Q=f(P)在P＝P0处可导，则称弹性，简称为需求弹性，记为εP。为需求Q对价格P的12解：需求弹性的经济意义

6、是当价格P上涨（或下跌）1％时，需求量Q增加（或减少）εP％。例4：设某商品的需求函数为求需求弹性。13例5：某商品需求量与价格之间的函数的关系为Q＝100－5P，求当P＝8、12、10时需求量对价格的弹性，并解释其经济意义。解：当P＝8时，εP＝－40／60＝－0.667当P＝12时，εP＝－60／40＝－1.5当P＝10时，εP＝－50／50＝－114若需求函数为Q=f(P)，则总收益函数为：R(P)＝PQ=Pf(P).15当-εP<1(称为低弹性)时,R／(P)>0,P上涨(下跌)，R增加(减少)。当-εP>1(称为高弹性)时,R／(P)<0,P上涨(下跌)，R

7、减少(增加)。当-εP＝1(称为不变弹性)时,R／(P)＝0,P上涨(下跌)，R不变。16