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1、§4.7导数在经济中的应用导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用.下面介绍导数(或微分)在经济中的一些简单的应用.一.边际分析与弹性分析边际和弹性是经济学中的两个重要概念.用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法,称之为边际分析与弹性分析.1.边际函数1定义经济学中,把函数ƒ(x)的导函数称为ƒ(x)的边际函数.在点的值称为ƒ(x)在处的边际值(或变化率、变化速度等).在经济学中,通常取Δx=1,就认为Δx达到很小(再小无意义).故有2实际问题中,略去“近似”二字,就得ƒ(x)在处的边际值的经济意义:即当自变量x
2、在的基础上再增加一个单位时,函数y的改变量.例33某机械厂,生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件,假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数为3求(1)日产量75件时的总成本和平均成本;(2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量;(3)当日产量为75件时的边际成本.解(1)日产量75件时的总成本和平均成本C(75)=7956.25(元)(2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量C(75)/75=106.08(元/件)4(3)当日产量为75件时的边际成本注:当销售量为x,总利润为L=L(x)时,称为销售量为x时
3、的边际利润,它近似等于销售量为x时再多销售一个单位产品所增加或减少的利润.例34某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和300公斤时的边际利润.并说明其经济意义.5解(1)总利润函数为L(x)=R(x)–C(x)=边际利润函数为(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润分别是其经济意义:当日产量为200公斤时,再增加1公斤,则总利润可增加1元.当日产量为250公斤时,再增加1公斤,则总利润无增加.当日产量为300公斤时,再增加1公斤,则反而亏损1元.6结论:当
4、企业的某一产品的生产量超越了边际利润的零点时,反而使企业无利可图.2.弹性弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时,所作出反映的强弱程度.即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量.7定义若函数y=ƒ(x)在点的某邻域内有定义,且,则称Δx和Δy分别是x和y在点处的绝对增量,并称分别为自变量x与ƒ(x)在点处的相对增量.定义设y=ƒ(x)当8由弹性定义可知(1)若y=ƒ(x)在点处可导.则它在处的弹性为(3)弹性是一个无量纲的数值,这一数值与计量单位无关.例35当a、b、α为常数时,求下列函数的弹性函数及在点x=1处的点弹性,并阐述
5、其经济意义.9η(1)的经济意义是:在x=1处,当b>0时,x增加(或减少)1%,ƒ(x)就增加(或减少)b%;当b<0时,x增加(或减少)1%,ƒ(x)就减少(或增加)–b%.η(x)的经济意义是:10例36某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的函数关系为(a是常数),求(1)需求弹性函数(通常记作).(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性.易知:任何需求函数对价格之弹性,均满足11在商品经济中,商品经营者关心的的是提价(Δp>0)或降价(Δp<0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念,可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.1
6、2(1)若(称为高弹性)时,则ΔR与Δp异号.此时,降价(Δp<0)将使收益增加;提价(Δp>0)将使收益减少;(2)若(称为低弹性)时,则ΔR与Δp同号.此时,降价(Δp<0)将使收益减少;提价(Δp>0)将使收益增加;从而有结论:(3)若(称为单位弹性)时,则.此时,无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响.由此对例36而言:当p=4时,(低弹性),此时降价使收益减少;提价使收益增加;13例37某商品的需求量为2660单位,需求价格弹性为–1.4.若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变),问该商品的需求量会降低多少?解设该商品的需求量为Q,在
7、价格上涨时的改变量为ΔQ=Q–2660课后考虑:用类似方法,对供给函数、成本函数等常用经济函数进行弹性分析,以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等.当p=4.35时,(单位弹性),此时,降价、提价对收益没有明显的影响;当p=5时,(高弹性),此时降价使收益增加;提价使收益减少.且14二.函数最值在经济中的应用在经济管理中,需要寻求企业的最小生产成本或制定获得利润最大的一系列价格策略等.这些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经济上的应用.1.平均成本最小例38某工厂生产产量为x(件)时,生产成本函数(元)为求该厂生产多少件
8、产品时,平均成本达到最小?并求出其最小平均成本和相应的边际成本.15162.最大利润设总成本函数为C(x),
