导数在经济学中的应用.ppt

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1、导数在经济中的应用1常用的经济函数（1）需求函数设P表示商品价格，Qd表示对该商品的需求量，那么有Qd=f(P),称为该商品的需求函数；需求函数是单调减少的。（2）供给函数设P表示商品价格，Qs表示该对商品的供给量，则称Qs=f(P)为该商品的供给函数。供给函数是单调增加的。例1：设某商品的需求函数Qd=f(P)＝a-bP；供给函数Qs=f(P)=-c+dP.市场上供需平衡时的价格称为均衡价格。则均衡价格为：供需平衡时有：Qd＝a-bP＝Qs=-c+dP.（4）总收益（收入）函数设Q表示商品的销售量，P表示商品价

2、格，则销售该商品的总收益为R＝QP＝R(Q)，称为总收益（收入）函数。（3）总成本函数设Q表示产品的产量，C表示总成本，则称C=C(Q)为总成本函数，Q＝0时，称C(0)为固定成本，称为平均成本函数。总成本函数是单调增加的，但平均成本函数一般不单调。若逆需求函数为P=f(Q)，则总收益函数为：R＝QP＝Qf(Q)。（5）利润函数设Q表示产品的产量，L表示利润，则称L=L(Q)为利润函数。若总成本函数为C(Q)，总收益函数R(Q)，则利润函数L(Q)＝R(Q)－C(Q)。解：（1）固定成本C(0)＝500，平均成本

3、函数：（2）总收益函数为：R＝QP＝Qf(Q)＝Q(10-0.01Q)=10Q-0.01Q2。（3）利润函数为:L(Q)＝R(Q)－C(Q)＝8Q-0.01Q2-500例2：某商品需求量Q与价格P之间的函数的关系为Q＝1000－100P，总成本函数为C(Q)＝2Q＋500。求：（1）固定成本和平均成本函数。（2）总收益函数。（3）利润函数。边际与边际分析规律的方法叫作边际分析法。1、边际成本设成本函数为，当产量由变为时，成本函数的增量为，这时成本函数的平均变化率为平均意义下，边际概念是经济学中的一个重要概念，通常

4、指经济济变量的变化率。利用导数来研究经济变量边际变化当产量由增加一个单位时所增加的成本，当时，若上式极限存在，即可导，则有我们称为边际成本函数，其经济学的解释为：近似等于当产量为时，若再增加一个单位产量所需增加的成本。这是因为2、边际收益设产品销量为时的收益为（称为收益函数），可导时，收益函数的变化率称为销量为时该产品的边际收入，它的经济学解释为：近似等于当销量为时，再销售一个单位产品所增加（或减少）的总收益。当3、边际利润设某产品销量为时的总利润为，当可导时，利润函数的变化率称为销量为时的边际利润。近似等于销量

5、为它的经济学解释为：（或减少）的利润.时，再多销售一个单位产品所增加由于总利润为总收入与总成本之差，即从而可知边际利润是边际收益与边际成本之差。设商品的需求量为，价格为，需求函数4、边际需求称为边际需求函数。经济意义为：当价格为p时，价格上涨（或下降）1个单位，需求量将减少（或增加）个单位。的反函数称为价格函数。例1设某厂生产某产品的固定成本为2000（元），生产个产品的可变成本为（元），如果产品的销售价为30元，试求边际成本、边际利润以及边际利润为零时的产量。解总成本函数为故边际成本函数又由总收益函数知，总利润

6、函数为故边际利润函数为显然，当月产量为1000单位时，边际利润为零。例2设某产品需求量，其中为价格，求边际收益函数以及时的边际收益。解由总收益函数为，又根据需求函数知从而总收益函数为故边际收益函数为令由此可知，当销量小于500时，再增加销售可使总收入增加，但销量超过500时，收益会减少。由得弹性与弹性分析定义设函数在点的某个邻域内有定义，弹性概念是经济学中的另一个重要概念.相对改变量(或增量)。在经济学问题中，光有绝对数的概念是不够的。例如：甲商品价格为5元，涨价1元；乙商品价格为200元，涨价1元。价格的绝对改

7、变量相同，哪个商品涨价幅度更大？我们用与原价之比来回答，甲商品涨价幅度为20%，乙商品涨价幅度为0.5%.对函数分别称为自变量与因变量的且如果极限存在，则称此极限值为函数在处点弹性，记为，而称比值在到之间的平均弹性。为函数可知当很小时，得若函数在可导，且对则称，为函数在区间内的点弹性函数，简称弹性函数。弹性在经济上又可理解为边际函数与平均函数之比。近似地改变表示在点处当产生1%的改变时，在经济上（应用中常略去近似二字。）（1）（2）常用的弹性公式（4）（5）;,baxaxExEyax+by+==（3）设商品的需求

8、量为，价格为，需求函数可导，则称为该商品的需求的价格弹性，简称为需求弹性，常记为表示某商品程度.当价格上涨时，需求减少，因而是递减函数，经济学中常见的弹性函数需求的价格弹性当价格变化一定的百分比以后引起需求量的反映一般为负值。从而有（1）当时，称为单位弹性，此时商品需求量的变动与价格变动按相同百分比进行；即商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，说明需求说明商品需求量