高等数学PPT导数和微分

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1、第四章导数与微分导数与微分是微分学的两个基本概念。给定函数y=f(x)，导数表达的是y随x变化的变化率；而微分则是用来近似函数改变量y的一个线性函数：dy=Adx。导数与微分的关系是：微分的系数A就是导数。由于这一点，人们把微分法和求导法统称为微分法。4.1导数的概念4.2导数的基本公式与求导法则本章的重点是：理解导数和微分的概念，熟记求导法则和微分法则，熟练的运用这些法则进行导数与微分的计算。4.3复合函数、反函数的求导法则4.4隐函数求导法，高阶导数4.5函数的微分4.6泰勒公式§4.14.1导

2、数的概念4.1.1引例引例1.求由y=f(x)表示的曲线，在点(x0,y0)处的切线斜率。见图4.1-1。图4.1-1§4.1解：用极限的方法①.先求近似：考虑过M0的割线的斜率。如图4.1-2，在曲线上M0附近，取一点M1(x0+x,y0+y)，则过M0,M1两点的割线斜率为图4.1-2显然，k割可作为M0处切线的斜率k切的近似。§4.1②．再取限：显然，x越小，割线M0M1越近似于切线，k割越近似于k切。令x0，则割线切线，k割k切。这里“”读作“趋于”。于是有由此可见：为求曲线y=

3、f(x)在一点处的切线斜率，需要计算：函数改变量y与自变量的改变量x的比，当自变量的改变量趋于0时的极限。§4.1引例2.设一质点沿直线运动，运动方程为S=f(t)，求质点在t0时刻的瞬时速度，见图4.1-3。解：①.先求近似：图4.1-3考虑在[t0,t0+t]这段时间上的平均速度当t较小，可作为t0处瞬时速度的近似。②．再取极限：按照物理学中瞬时速度的定义，§4.1于是，为求瞬时速度，也需要计算：函数改变量y与自变量的改变量x的比，上述两个问题的意义不同，但其求解的数学结构却一样，都是求

4、一个形如当自变量的改变量趋于0时的极限。的极限。还有许多问题的求解，都可以归结为这样一个极限的计算。我们把这种类型的极限，叫做导数。§4.14.1.2在一点处的导数定义4.1.1：若极限存在，称f在x0处可导，并称此极限值为f在x0处的导数值，记为f’(x0)，即(1)易见(1)式也可写为(1’)§4.1例4.1.1．计算f(x)=x2在x=2处的导数值。解：由导数定义§4.14.1.3导函数定义4.1.2：若极限存在，此极限值将随x而变，是x的函数，记为f’(x)，称为f(x)的导函数，即通常，导函数

5、就简称为导数。§4.1例4.1.2．计算f(x)=x2的导数。解：由定义记住：f’(x)表示导函数，f’(x0)表示导函数在一点x0处的值。§4.14.1.4导函数、导数值的其它记号导函数除了记为f’(x)外，还常记为导函数在一点处的导数值，除了记为f’(x0)外，还常记为称“”为“导算子”，又叫“导数算符”，也就是导数运算符号。导算子写在一个函数的左边，表示对这个函数进行求导运算。§4.14.1.5导数的意义从引例可知：在几何上，导数表示y=f(x)的切线斜率；在物理上，导数表示质点作直线运动时的瞬时

6、速度。在x处，x变化一单位，y将变化几单位。一般地，x是x的改变量，f(x+x)-f(x)是因变量y的改变量，于是比值表示在区间[x,x+x]上，x每变化一单位，y将平均变化几单位，是y对x的平均变化率。因而，导数作为平均变化率的极限，表示：它是在x处，y随x变化的变化率。§4.24.2导数的基本公式与求导法则4.2.1基本初等函数的导数求函数的导数，是我们经常要做的事情，但由定义求一个函数的导数，是很麻烦的事情。本节要做的，是从导数定义出发，推出一些导数的公式与法则。然后，借助这些公式与法则来求

7、导数，就方便多了。例4.2.1．f(x)=c，即常值函数，求f’(x)解：由定义所以，常数的导数为0，即c’=0§4.2例4.2.2．f(x)=sinx，求f’(x)解：由定义所以，(sinx)’=cosx注意，上面的计算中，第二步用了三角函数的和差化积公式；第四步用了重要极限。类似地可得(cosx)’=-sinx§4.2例4.2.3．f(x)=lnx，求f’(x)。解：由定义所以有为了提高效率，其它基本初等函数的导数将用其它方法给出。所有初等函数的导数公式与求导法则，见4.3.3、4.3.4、4.3.

8、5。§4.24.2.2函数的和、差、积、商的导数设函数f,g在x处可导，则f与g的和、差、积、商在x处也可导，且有公式：(1).(2).(3).(4).(5).§4.2下面证一下(2)式和(4)式，以便使你确信这些公式的正确性。(注意，本步用了加减同一项的因式分解技巧)证明(2)式：§4.2有了对(2)式和(4)式的证明，(1)、(3)、(5)式的证明也就容易了。请读者自己给出。证明(4)式：§4.2类似地，例4.2.4．求tanx的导数公