高等数学 少学时 第二版 第3章 导数与微分的应用第3章导数的应用.doc

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1、新编经济应用数学3.1　洛必达法则3.1.1中值定理设是闭区间上一条连续曲线段，如图3-1所示，如果其上每点都有不垂直于轴的切线，且曲线段的始点与终点高度相同的话，那么曲线上至少有一点，使得曲线在点处的切线是水平的，或者说切线是与弦平行的．这一几何事实抽象出来，就是如下定理：定理1（罗尔中值定理）若函数满足条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）．则至少存在一点,使得．【例1】验证函数在区间上满足罗尔定理．证明因为满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3），所以由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得．事实上，，令，有，取即验证了罗尔

2、中值定理的正确性．图3—127第3章导数的应用新编经济应用数学在罗尔中值定理的条件中，当时，对应的函数曲线如图3-2所示．此时，虽然点处的切线不水平了，但它仍与弦平行，而弦的斜率为,曲线在点处的切线的斜率为，于是有如下定理：定理2（拉格朗日值中值定理）若函数满足条件（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导．则至少存在一点，使得这个等式也可写成．拉格朗日中值定理是微积分学重要定理之一，它准确地表达了函数在一个闭区间上的平均变化率（或改变量）和函数在该区间内某点处导数之间的关系，它是用函数的局部性来研究函数的整体性的工具，应用十分广泛．【例2】对于函数，在闭区间

3、上验证拉格朗日定理的正确性．解对于函数在闭区间上连续，在区间内可导，又，由拉格朗日中值定理，存在，使得，从而解得．【例3】若，证明．证明设．因为在区间图3-227第3章导数的应用新编经济应用数学上连续，在内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，于是，而，代入上式为．又因为，所以．我们知道，常数的导数为零，反过来说，如果函数在区间内的每一点的导数都为零，则是否为常函数？拉格朗日中值定理给予了肯定答案．推论如果在区间内，，则在内为一常数．证明在区间内任取两点，在上应用拉格朗日中值定理，有，由于，所以，因此．任意两点函数值相等的函数必为常数，即（为常数）．几何意义也

4、是非常显然的，斜率处处为零的曲线一定是一条平行于轴的直线．【例4】证明三角函数恒等式arc证明设arc，则内可导，且27第3章导数的应用新编经济应用数学arc故（为常数）,又因为,而所以，即．3.1.2洛必达法则如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那末极限可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为或．对于不定式，即使它的极限存在，也不能用“商的极限等于极限的商”这一法则来求．为此，我们介绍一种求不定式极限的重要方法，这就是洛必达法则．1．型不定式定理3（洛必达法则1）设函数，满足条件（1）；（2），在点的某邻域内（点可除外）可

5、导，且；（3）（或为无穷大）．则（或为无穷大）．定理3中，把换为时，结论也成立．27第3章导数的应用新编经济应用数学【例5】求．解这是型不定式，由洛必达法则，有．如果仍是型，且仍满足定理中所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则,即且可以依次类推．【例6】求．解这是型不定式，由洛必达法则，有（还是型）．【例7】求．解这是型不定式，由洛必达法则，有．2．型不定式定理4（洛必达法则2）设函数满足条件（1）,；（2）在点的某邻域内（点可除外）可导，且；27第3章导数的应用新编经济应用数学（3）（或无穷大）．则（或为无穷大）．定理4中，把换成时，结论也成立．【例8】

6、求()．解这是型不定式，由洛必达法则，有．同样，在求不定式极限过程中，只要分子分母满足洛必达法则条件，就可以多次重复使用法则．【例9】求极限（为正整数）．解当时，此极限为“”型，由罗比达法则，得．3．其它类型的不定式不定式除和型外，还有、、、、等类型，一般地，对这些类型的不定式，通过变形总可以化为或型的不定式，再用洛必达法则求极限．【例10】求．解这是“”型不定式，先变形再由洛必达法则，有（型）．【例11】求．27第3章导数的应用新编经济应用数学解这是“”型不定式，先变形再由洛必达法则，有型）．对于“”、“”、“”型不定式，均属于幂指函数的极限，通过恒等变形可

7、化为指数函数与对数函数的复合函数的极限，于是问题就转化为“”型不定式了．【例12】求．解这是“”型不定式，=因为所以．【例13求．解这是“”型不定式，因为==所以．【例14】求．27第3章导数的应用新编经济应用数学解这是“”型不定式，因为所以．值得注意的是,如果不存在,并不能由此断定不存在．【例15】求．解这是型不定式由于不存在，所以此题不能用洛必达法则求解,而用下面方法求解，即．小结：洛必达法则本节主要内容是中值定理和洛必达法则，要求学生了解罗尔定理和拉格朗日中值定理的内容和几何意义；重点掌握洛必达法则求不定型极限问题．27第3章导数的应用新编经济应用数学3

8、.2　函数图像的描绘3.2.1函数单调