高职高等数学-ch3导数的应用

《高职高等数学-ch3导数的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三章导数的应用§3-1中值定理一、罗尔定理定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则在内至少在一点，使得。几何意义：若连续曲线上处处具有不垂直于轴的切线且两端点的纵坐标相等，则在曲线上至少能找到一点，使曲线在该点处的切线平行于轴。例：验证在是否满足罗尔定理证：在上连续，在上可导则在上至少存在一点，使得即二、拉格朗日中值定理定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少有一点，使得几何意义：若连续曲线除端点外处处有不垂直于轴的切线，则该曲线上至少有一点存在，使得该点处切线平行于两个端点连线。推论1：如果函数在区间上的导

2、数恒为零，则在区间上是一个常数。推论2：如果与在区间上连续，在区间内可导，且，则有。例1：验证在上是否满足拉氏定理解：在上连续，在内可导因为，则在上至少存在一点，使得则，即例2：证明当时，证：设，由于，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，则有：，即由，易推得三、柯西中值定理定理：如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内的每一点均不为零，则在内至少有一点，使得.三个定理的联系：罗尔定理通过推广可得拉氏定理，拉氏定理通过推广可得柯西定理。柯西定理中令可得拉氏定理，拉氏定理中令可得罗尔定理。§3-2洛必达法则一、型和型未定式定理1：设

3、满足以下条件（1）；（2）在点的某去心邻域内可导，且；（3）存在（或无穷大）则例1：求解：注：不是型，不能继续使用洛必达法则。例2：求解：例3：求解：定理2：设满足以下条件（1）；（2）在点的某去心邻域内可导，且；（3）存在（或无穷大）则例4：求解：例5：求解：二、其他未定式，，，，型的未定式可以转化为型和型未定式。1.型例1：求解：2.型例2：求解：3.，，型例3：求解：令，则，则例4：求解：例5：求解：总结：（1）每次使用洛必达法则，须检验是否为型和型（2）应用洛必达法则后及时化简（3）洛必达法则失效后，极限仍可能存在§3-3函数单调

4、性与极值一、函数单调性的判定法如果函数在上单调增加（单调减少），那么它的图像是一条上升（下降）的曲线。这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即。因此，函数的单调性与导数的符号存在关系。定理(函数单调性的判定法)：设函数在上连续，在内可导，(1)如果在内，那么函数在上单调增加；(2)如果在内，那么函数在上单调减少。证明：，令应用拉格朗日中值定理可得：由于，则，，即所以函数在上单调增加。（同理可证单调减）注：1.上面定理中，区间若改为或无线区间，定理仍然成立。2.若函数的导数在有限个点处导数为零，其余各点处均为正（或负）时，函数在该

5、区间仍为单调函数。如函数，导数为，除时，外，其他各点处均有，因此函数在区间及内都是单调增加的，从而在整个定义域内是单调增加的。例1：讨论函数的单调性解：则函数在定义域内为的单调增函数例2：讨论函数的单调性解：定义域为，在处不可导则，时，，函数在上单调减少；时，，函数在上单调增加。注：导数不存在的点两边也可能出现不同的单调性。单调区间：使函数单调增或单调减的区间。单调区间的求法：如果函数在有导数1.确定函数的定义域2.求导数，令求其根及使不存在的点，并由小到大排序3.将定义域划分为若干子区间4.判断每个子区间内的符号，从而判断单调性例3：确

6、定函数的单调区间解：定义域为，-+-↘↗↘函数在区间和内单调减少，在区间上单调增加例4：确定函数的单调区间解：定义域为，+-+↗↘↗函数在区间和内单调增加，在区间上单调减少例5：证明当时，证明：令由，则有，即函数在单调增加则有，即得证二、函数的极值及其求法定义：设函数在的某一去心邻域内有定义，对于该邻域内异于的点恒有：（1），则称为函数的极大值，为的极大值点；（2），则称为函数的极小值，为的极小值点。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。注：函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果是函数的一个极大（小）值，只

7、是就附近的一个局部范围而言是的一个最大（小）值；如果就的整个定义域来说，不一定是最大（小）值。定理1(必要条件)：设函数在点处可导，且为极值，则驻点：使导数为零和使导数不存在的点。说明：1.函数的驻点不一定是极值点。如，导数为，，但不是极值点。2.导数不存在的点仍可能是极值点。如，处连续但不可导，但仍是该函数的极小值点。定理2(第一充分条件)：设函数在点的一个邻域内可导，且(1)如果时，；时，，则函数在处取得极大值；(2)如果时，；时，，则函数在处取得极小值；(3)如果在的某一邻域内不改变符号，则函数在处无极值。求极值点和极值的步骤：(1

8、)求出导数(2)求出的全部驻点(3)列表考察符号变化情况例1：求函数的极值解：，12+0-0+↗2（极大）↘1（极小）↗极大值为，极小值为例2：求函数的极值解：，0+不存在-0+↗0（极大）↘