ch3中值定理与导数的应用

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1、Ch3、中值定理与导数的应用§1、中值定理一、罗尔定理若满足①在上连续；②在内可导；③，则在内至少存在一点。证：因，故在上有最大值、最小值，若，对任意，均有，结论成立。若，因，故不能同时等于，不妨设，即内部一点处取最大值。当同理可证，又在内可导，故，即。例1、验证罗尔定理对上的正确性。证：[条件验证]，，即满足罗尔定理条件。[结论验证]，显然有，故得证。（既要验证条件，又要验证结论）例2、设的实数，证明方程在内至少有一个实根。证：设则在上连续，在内连续，且，16由罗尔定理，至少有一个使即在内至少有一个实根。二、拉格朗日中值定理若满足①在上连续；②在内可导，则至少存在一点，使。证：令则在上连

2、续，在内可导，且由罗尔定理，至少有一个使即。①因，故可记为。②本定理的一般形式为，。例3、设在上连续，在内可导，证明在内至少存在一点，使。证：令，则在上连续，在内可导，由Lagrange定理，有使，即例4、设，证明证：令，则在上连续，在内可导，故有使又，故即定理：在区间上，的充要条件是证：充分性显然，下证必要性。由知，满足Lagrange定理条件，对任意，有，得，从而。例5、证明：16证：令则又故同理可证三、柯西中值定理若满足①在上连续；②在内可导；③，则至少存在一，。证：令，则在上连续，在内可导，且，由罗尔定理，至少有一个使，即。例6、设在上连续，在内可导，证明在内至少存在一点，使。证：

3、令，则、在上连续，在内可导，且由柯西定理，有使，即§2、洛必达法则1、型定理1：若①；②；③，则证：下设极限过程为，时同理可证。因，16故、的连续点或可去间断点，从而可得。设为邻域内一点，且，则、在上连续，在内可导，且，则柯西定理又时，，且故。注：①在实际运用时，只要极限为型，即可试用法则。②在求极限时，最好将洛必达法则与等阶无穷小代换法则结合使用。例1、解：原式例2、解：原式例3、解：原式2、型定理2：若①；②；③，则16例4、解：原式例5、证明存在，但不可用洛必达法则计算。证：因为不存在也不为，故不可用洛必达法则计算。但此极限存在，事实上原式3、其它未定型极限中共有七种未定型①例6、例

4、7、②例8、③16例9、例10、例11、§3、泰勒公式1、Taylor中值定理定理：若在的某邻域内有阶导数，则在该邻域内称为余项，介于之间。①拉格朗日公式②显然余项。2、麦克劳林公式若，则此式称为阶麦克劳林公式。例1、求的麦克劳林公式①②③④解：①，，故16②，，故同理③，，故④，，故例2、用Taylor公式求极限①②解：①原式②原式16§4、函数单调性的判定1、定理1：若在区间内（），则在区间上单调增加（减少）。证：任取，则由拉格朗日定理，若，则，在上单调增加；若，则，在上单调减少。例1、判定函数单调性①②解：①当时，；当时，故内单增，在内单减。②，当时，；当时，故内单减，在内单增。2、

5、用单调性证明不等式（重要）例2、证明不等式①②证：①令，则，即单增又，故，即再令，，即单增又，故，即从而②令，则，即单增又，故，即163、定理2：单调函数在其单调区间内最多只能有一个零点。例3、证明只有一个实根。证：令，则在上连续，且，故内至少有一个零点，又，即单减，由定理2，内最多只能有一个零点，从而有且仅有一个实根。§5、函数的极值及求法1、极值的定义定义：若存在的一个邻域，对此邻域内除外的任何，均有（），则称为的一个极大（小）点，称为的一个极大（小）值。注：极值是局部性概念，仅在附近考虑；而最值是整体性概念，要在整个区间考虑。2、函数取得极值的必要条件定理1：若在处可导，且在处取得极

6、值，则。证：不妨设为极大点，即在的某邻域内有当时，（保号性）同理，又在处可导，即，故。注：①导数为零的点称为驻点，此时定理1可叙述为“对可导函数，极值点一定是驻点”。②若可导函数无驻点，则函数无极值。③驻点不一定为极值点。例如，有驻点，但不是极值点。④千万不要误认为只有驻点才可能成为极值点，导数不存在的点也有可能成为极值点，即可能的极值点例如，，在处不可导，但在处有极小值0。163、函数取得极值的充分条件定理2：（判别法一）设或不存在①若时，，时，，则为极大点。②若时，，时，，则为极小点。③若在两侧，不变号，则不是极值点。定理3：（判别法二）设①若，则为极大点。②若，则为极小点。③若，则需

7、进一步判断。4、求极值步骤①求。②求出的驻点及不存在的点。③用判别法一或判别法二判定上述点是否为极值点，然后求出极值。例、求极值①②③解：①法一：为极大点，极大值为0为极小点，极小值为法二：故为极大点，为极小点。②，故为极大点，极大值为③，故为极大点，极大值为16§6、最大值、最小值问题1、函数在闭区间上的最大、最小值设，求上的最大、最小值。解：求出内的所有可疑点（驻点、不可导点），然后比较，最大（小）者即为最大（小）值