一类hamilton系统在多项式扰动下极限环的个数

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1、第一章前言§1．1研究现状1900年，D．Hilbert【1l在第二届国际数学家大会上提出了23个数学问题，其中第16个问题的后半部分是：对于平面n次多项式系统忙F(z，y)G(z，可)其中F，G为关于z，可的几次多项式，问：它的极限环个数的最小上界日(n)是多少?可能出现的极限环相对位置如何?经过Il’yalshenko【21和Ecalle【3】修补证明后的Dulac【4】有限性定理指出：一个给定的扎次多项式系统的极限环个数是有限的．但是，对全体佗次多项式系统而言，其极限环个数的一致上界是否有限、如何估计，即使对n=2这种最简单的非线性情形，仍是一个没有解决的

2、问题．目前，一些数学工作者已探索出日∞)至少是随n以n2的速度增长的【5一．Hilbert第16问题仍是平面多项式微分系统定性理论中最困难的问题之一．S．Smale吲已将Hnbert第16问题列入21世纪有待解决的数学问题之中．由于第16问题的难度之大，数学工作者开始从较简单的情形入手研究，考虑平面H锄ilton系统的扰动向量场譬篡?(1．1．1)E其中o≤s《1为小参数，日，P，Q为多项式，de9日≤m，maX

3、，11<^<九2)1其中日=^1和日=危2分别对应系统(1．1．1)。：o的中心奇点和奇异闭轨．于是，系统(1．1．1)。的极限环只可能分别来自于t(1)奇点H=九1附近的Hopf分支(2)奇异闭轨日=九2附近的奇异闭轨分支(奇异闭轨的环性)(3)闭轨n(危1<^<^2)附近的Poincarg分支对于Hopf分支的讨论，应用Hopf分支定理【8】，可将问题归结为奇点焦点量的计算，而奇点焦点量的计算已经有了很成熟的计算方法【9】．关于Poincar百分支的讨论，定义系统(1．1．1)。的Mel7nikov函数^矗(九)=乒Q(z，秒)dz一尸(z，!，)d3，，^

4、1<^<^2Jrh当￡充分小时，系统(1．1．1)。的Poincar∈分支的极限环个数上确界B(m，n)不大于尬(九)的孤立零点个数(计重数)的上确界z(m，佗)．1983年，V．I．Arnold【10】首先提出寻求尬(^)函数的孤立零点个数的上确界问题，并称之为弱Hilbert第16问题．大部分关于PoincaLr芭分支的文章是对较具体的Hamilton系统的多项式扰动系统的Mel7nikov函数孤立零点个数的上界或上确界的估计【1l一151．奇异闭轨分支分为同宿分支和异宿分支，研究奇异闭轨环性的主要方法是寻求奇异闭轨附近的后继映射的形式，对于可积系统，一种重

5、要的方法是Mel7nikov函数法．考虑一般系统{三，(z，y)+￡如(z，可，E，6)三，(z，∥，￡，6)9(z，耖)+￡夕0(z，y，E，6)三雪(z，秽，E，6)(1．1．2)￡其中0≤g《l为小参数，6∈Dc舻，n≥l，D有界，设当E=0时，(1．1．2)。：o有一个以双曲鞍点为极限点的同宿轨厶关于同宿分支最重要的结果是R，ousSarie定理【16

6、，它证明了：2时系统在佗次多项式扰动下分支出极限环个数的上界为【孚】+【孚】+1，当佗≥7时分支出极限环个数的上界为【孚】+【孚】+孚】；(y，)若系统的Hamilton函数为日=z一3(y2—222+z

7、)，则当竹=0时系统在n次多项式扰动下分支出极限环个数的上界为n+3，当n=1，3时分支出极限环个数的上界为他+2，当n=2时分支出极限环个数的上界为n+1，当n≥4时分支出极限环个数的上界为2n一3．(4)对于非Hamilton系统有时我们可将Mel7nikov函数表示为第一、第二型完全椭圆积分的线性组合，然后用罗尔定理来估计极限环个数，方法详见邵仪和赵育林教授的论文【20l●(5)对于尬(^)=n(^)如(^)+6(^)J1(九)+c(^)厶(危)的形式，其中n(^)，6(^)，c(危)是关于^的多项式，可先找出而(九)、厶(危)和j12(^)三个生成元之间

8、的关系，借助Picard-F、uchs方程和求二阶导数的方法将三个生成元化为两个生成元，然后再用罗尔定理来估计极限环的个数．§1．3本文的主要工作赵育林教授博士论文【18】中的一部分是利用广义R，011e中值定理证明了至少有一个中心的形如日(z，剪)={秒2+U@)(u(z)是四次多项式)的H锄ilton向量场在佗次扰动下Mel7nikov函数的孤立零点个数B(礼)≤7佗+5，本文研究的是它其中的一个特例，利用Petrov的复域方法研究具有双同宿轨的H锄ilton向量场H(z，秒)=；!／2一；z2+{一在n次扰动下Mel7nikov函数的孤立零点个数．本文研究

9、的系统为圣=Ⅳ+￡R(z