一类三次哈密顿系统在五次多项式扰动下分支问题

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1、有关奇异环分支出极限环个数的问题是分支理论的重要课题之一，本文讨论了一类具有四个双曲鞍点和五个中心奇点的三次哈密顿系统，存在一个由四个鞍点和连接它们的异宿轨道组成的奇异环S⑷及四个分别由两个鞍点和连接它们的异宿轨道组成的奇异环s(2).利用定性分析和分支理论的方法，借助于计筧机软件，对这类三次哈密顿系统在五次多项式扰动下的奇异环分支问题进行了研究.第1章介绍了奇异环的研究现状及本文的一卞要结论：即系统土=y—ߡ—fj！/^+cP(.r.y)y—-x+ߡ+ij.''3+sQ(.r.y)在适当的扰动下至少可产生14个极限环并给出了

2、它们的分布.其中=ߡ，Q(-f-y)=F,o<^j<5^jx'yJ'0j'(hj为实参数.第2章为预备知识，首先考虑上述系统在五次齐次多项式下的扰动，即此时Pd=‘Q(x-y)=Y.o<,+JQux'yJ^!)丨”(h)为实参数.系统经过平移变换后，五次扰动多项式可化为：Ph.y)=EiynwV，Qd=Lvju'iW.然后再计党出系统在各异宿轨道的Mehiikov函数&及在焦点处的迹.第3章首先给系统一个适当的扰动‘由三个奇异环的稳定性与对应焦点稳定性相同，由Poincare-Bendixon环域定理知在

3、三个焦点外侧邻域至少各产生一个极限环；给系统一个更小的扰动d2，0<11?

4、

5、?11(5,11,使其产生个双同宿环和过三个鞍点的异宿环5<3'且环的稳定性与焦点的稳定性相同，从而由P()im?；m、-B(‘iidixoii环域定理知，系统在奇异环内侧邻域至少各产生一个极限环；继续给系统一个更小的扰动、，0<

6、

7、d

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13、?ildjll,使过三点的异宿环外3)破裂产生过两点的异宿环且稳定性发牛.改变，同时产生一个同宿环a环的稳定性与焦点的稳定性相同，由Poincan、-Beiidixtm环域定理知奇异环内侧邻域至少

14、各产生一个极限环；再给系统一个更小的扰动…，0<

15、⑷

16、丨?！r,tj：?

17、k521

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20、，使过两点的异宿环破裂产生同宿环且稳定性发生改变，则由Poincnn'-Beudixuii环域定理在奇异闭轨内侧邻域至少产生一个极限环；最后给系统一个更小的扰动0<丨

21、&)

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31、

32、,使所有同宿环适当破裂，从而构成环域，再由PoincaiT-Brudixon环域定理在同宿环内侧邻域至少各产生一个极限环，从而证明了本文的K要结论.第4章举例说明系统至少可产生14个极限环.关键词：Mclni

33、kov函数；哈密顿系统；奇异闭轨;分支；极限环.TheSingularClosedOrbitBifurcationofCubicHamiltonianSystemWithFivePerturbationsAbstractTheproblemaboutthenumberofthelimitcycleswhicharebifurcatedbythesingularcycleisoneoftheimportanttopicsofbifurcationtheory.AkindofcubicHamiltonsystemwithfourh

34、yperbolicsaddlepointsandfivecentral.singularpointsisdiscussed.Thissystemconsistsofasingularcycle5(”withfoursaddlepointsandheteroclinicorbitsconnectingtli(、ni.andfoursingularcycles5?⑵withtwosaddlepointsandheteroclinicorbitsconnectingtlicmrespectively.Byusingthemethod

35、oftheqimlitativeanalysisandbifurcationtheory,thesingularcyclebifurcationofsuchcubicHamiltonsystemunderfive-orderperturbationi?analyzedbymeansofcomputers.Inthefirstdiapter;th(、rt^searchpresentsituationofsingularcycleandthemaincon?clusionofthisarticleareintroduced.The

36、mainconclusionisthatthefollowingsystem.丨'=“—+f尸(.厂-lj)！)-+is-''//2十S.'.3十cQ{.r.y)atleastexistsfourteenlimitcyck1uu(1(tsiutahlcprrtui.hatio