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1、2006年12月纯粹数学与应用数学Dec.2006第22卷第4期PureandAppliedMathematicsVOl.22NO.4一类2I+1次多项式微分系统的局部极限环分支徐慧栩1~黄文韬1~张理2(1.桂林电子科技大学计算科学与数学系~广西桂林541004;2.安微工业大学数理学院~安微马鞍山243002)摘要:研究了一类2n+1次多项式微分系统在原点的局部极限环分支问题~通过计算与理论推导得出了该系统原点的奇点量表达式~确定了系统原点的中心条件以及最高阶细焦点的条件~并在此基础上构造出系统在原点分支出4个极限环的实例.关键词:高次奇点;焦点量;奇点量;极限环分支中
2、图分类号:0175.12文献标识码:A文章编号:1008-5513(2006)04-0549-071引言在多项式微分自治系统定性理论中~极限环分支问题是一个活跃的研究领域.对于原点的局部极限环分支问题~已有许多结果.例如~二次系统在原点邻域内有3个极限环[1]~三次系统在原点分支出8个极限环[2-4].但罕见一般n次系统原点极限环分支问题的研究结果.仅见文[5]对一类拟二次系统(包含有n阶的情形)的极限环分支问题进行过研究.本文考虑下述2n+1(n2)次实平面多项式微分系统:n+1dx2222S-1=(-y+6x)+A20x+A11xy+A02y-Ey(x+y)dtS=2<
3、(1.1)n+1dy2222S-1=(x+6y)+B20x+B11xy+B02y+Ex(x+y)dtS=2某中6~A均为实数.局部极限环问题往往通过焦点量(奇点量~20~A11~A02~B20~B11~B02LiapunOv常数)的计算进行研究.文[6]给出了一个n次系统的递推公式~通过此公式应用计算机符号计算软件可导出具体的有限次系统的奇点量的表达式~但一般的n次系统的奇点量表达式还无法导出.我们通过对系统的理论分析结合计算导出了这类2n+1次系统的奇点量表达式~在此基础上解决了该系统的原点中心条件和局部极限环的分支问题.收稿日期:2005-12-06.基金项目:国家自然
4、科学基金资助项目(60464001)~广西自然科学基金资助项目(0575092).作者简介:徐慧栩(1982-)~硕士研究生~研究方向:微分方程定性理论.550纯粹数学与应用数学第22卷2系统原点的奇点量表达式和中心条件系统(1.1)通过极坐标变换I=1OOS6,y=1Sin6化为,d18+1[OOS6P2(OOS6,Sin6)+Sin62(OOS6,Sin6)]=1n+1(2.1)d62s-21+1[OOS62(OOS6,Sin6)-Sin6P2(OOS6,Sin6)]+1s=2其中P22222(I,y)=A20I+A11Iy+A02y,2(I,y)=B20I+B11Iy
5、+B02y.对充分小的h,方程(2.1)满足初始条件1
6、的解记为6=0=hOm1=1(6,h)=Zm(6)h(2.2)m=1其中Z861(6)=e,Zm(0)=0,m=2,3~.系统(1.1)在原点(高次奇点)的第0个焦点量为2T8Z1(2T)-1,即e-1,第k个焦点量为Z2k+1(2T),k=1,2,~.系统(1.1)经复线性变换z=I+zy,w=I+zy,T=z,z=-1化为一类复平面微分自治系统n+1dz22ss-1=(1-8z)z+a20z+a11zw+a02w+as,s-1zwdTs=2(2.3)n+1dw22ss-1=-((1+8z)w+Z20w+Z11wz+
7、Z02z+Zs,s-1wz)LdTs=2其中a11=(-zA02-zA20+B20+B02)/2,Z11=(zA02+zA20+B20+B02)/2(2.4)a20=(zA02-zA20-zB11-A11-B02+B20)/4,Z20=(-zA02+zA20+zB11-A11-B02+B20)/4a02=(-zA20+zA02+zB11+A11-B02+B20)/4,Z02=(zA20-zA02-zB11-A11-B02+B20)/4as,s-1=Zs,s-1=1(s=2,3,~,n+1),z,w是复变量.易知,系统(2.3)的右端系数满足共轭条件,即a我们称系统(1.1)
8、与系统(2.3)互zj=Zzj,为伴随系统[7].文[7]定义了复自治系统原点的奇点量.记系统(2.3)
9、原点的第m个奇点量为(m),8=0(m=1,2~).引理2.1[7]对于系统(1.1)
10、的第m个焦点量Z和它的伴随系统(2.3)
11、的8=02m+1(2T)8=0第m个奇点量(m),奇点量与焦点量的关系为Z2m+1(2T)~zT(m).因此,系统(1.1)
12、焦点量的计算可转化为系统(2.3)
13、的奇点量的计算.8=08=0考虑以下在原点邻域内解析的复自治微分系统OOdzkjdwkj=z+ak,jzw=Z(z,w),
