两类多项式系统的极限环.pdf

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1、中文摘要摘要本文研究的主要内容是平面多项式系统极限环的个数，讨论了具有多重非零临界点的平面多项式系统和LiSnard型的平面多项式系统扰动分支出极限环的个数．平面多项式系统极限环的个数及其分布的研究由来已久，但是由于问题自身的复杂性以至于二次系统尚未研究清楚．然而由该问题衍生出的一系列问题受到广大数学学者的关注，并研究出了很多重要的优异的结果．本文共有四章．第一章简单介绍动力系统的发展历史、研究现状以及研究平面多项式系统极限环的必要性和重要意义，并简述本文的主要工作．第二章是准备工作，主要介绍与本文相关的一些基础知识．第三章讨论平面多项式系统圣=一yF(x，Y)+￡P(z，可)，

2、雪=xF(x，Y)+￡Q(z，可)，其中{F(z，Y)=o)是由m个多重的非零点(nt，bi)(i=1，⋯，m)组成的集合，P(x，Y)和Q(x，y)是任意的实多项式．我们使用阿贝尔积分和留数定理来研究环绕原点的周期轨道分支出极限环的个数，并给出其上界．第四章研究了一类Li6nard型的平面多项式系统X’=m(可)，雪=一9m(z)一￡厶(z)可，其中徘(可)是一个关于Y的南次多项式，厶(z)和‰(z)分别是关于X的n次和m次多项式．令H(m，Tt，k)表示该系统极限环的最大个数，我们给出在某些情形下H(m，n，k)的下界．关键词：极限环，阿贝尔积分，分支，多项式系统，哈密顿函数

3、，希尔伯特数．AbstractlIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIY2285094Themaincontentofthispaperisthenumberoflimitcyclesfortheplanarpolynomialsystemandwestudythebifurcationofaplanarpolynomialsystemwithnon·zerocriticalpointsandasystemhasLi6nardtype．Thestudyaboutthenumberoftheplanarsystem’Slimitcycleshasalonghistory，thi

4、sproblemisSOdifficultthateventhesituationofquadraticsystemisstillopen．However．alot．ofmatllemadciansdevotetostudythesequestionswhichderivefromtheproblemandgetalargenumberofmeaningfulandexcellentresults．Thispaperconsistsoffourchapters．Inchapter1．thispaperintroducethedevelopmen-tsurveyandmainres

5、earchdirectionsofdynamicalsystems，discussthenecessityandimpor—tantmeaningofstudythelimitcyclesoftheplanarpolynomialsystems，andthen，theauthorbrieflyintroducetheresearchworkofthispaper．Inchapter2，wediscusssomebasictheorythatrelatetOthispaper．Inchapter3，weconsidertheplanarsystem圣=一yF(x，Y)+eP(x，可

6、)，雪=xF(x，Y)+￡Q(z，可)，wheretheset{F(z，Y)=o)consistsofmnon-zeropoints(ai，bi)(i=1，⋯，m)withmultiplemul邱licities，p(x，Y)andQ(x，Y)arearbitraryrealpolynomials．WestudythenumberoflimitcyclesbifurcatingfromtheperiodicannulussurroundingtheoriginbyusingAbelianintegralsandresiduesintegration．Inchapter4，west

7、udytheplanarsystemoftheform圣=pk(y)，17=一仍钆(z)一￡厶(z)∥，wherePk(Y)ispolynomialofdegreekinY，and厶(z)，夕m(z)arepolynomialsinXwithdegreeofnandm，respectively．LetH(m，n，k)denotethemaximalnumberoflimitcyclesofthissystem，wegivethelowerboundsofH(m，n，k)inSOm