平面多项式向量场的多极限环分岔

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1、北京工业大学理学硕士学位论文一性问题的工作就比较少，至于个数问题和相对位置问题难度比较大，已有的工作屈指可数【2】．1977年，俄国数学家触n01d【3】又提出了弱化的mlbert第16问题：考虑系统(1．1)的一种特殊情形，即H锄inon扰动系统：妾：一氅掣+驴(x，力，(1．2a)搿砂粤：驾鲨+坦(训)，(1-2b)口f(珥其中，占是小参数，o

2、有一个紧分支r^的所有_jl值的集合，定义函数4(^)=I，一Q@，力出+P@，力砂，五∈△(1-3)为系统(1-2)的一个Abel积分．确定Abcl积分的零点个数的上界z彻，以)称为弱化的琢lbeft第16问题．这一研究方向目前已有的工作大部分集中在所=2及州=3的情形，其研究大致分为两类：一类是取定较小的Ⅸ值，即对低次扰动，给出Abcl积分的零点个数的上确界．这一方面，最简单的情形是，’l=2，，l=2，此时系统(1．2)对应二次向量场．另一类是固定髓而P，Q为任意的，1次扰动，给出z(m，n)的上界估计．迄今为止，对全体n次平

3、面多项式向量场而言，其极限环个数的一致上界如何估计(哪怕是否有限)，即使对n=2这种最简单的非线性情形，仍然是一个未知的问题，其极限环的相对位置更没有解决，可见这是对数学工作者的一个重大挑战．1．2平面多项式向量场的多极限环分岔的研究现状自碰1bert第16问题提出以来，引起了越来越多的数学家的关注，特别是最近几十年，随着计算机技术的发展，关于极限环的分岔问题出现了大量的研究成果．对于二次系统的mlbert第16闯题，很多数学家都在这方面做过贡献．其中最好的结果有1979年，史松龄【4】和陈兰荪、王明淑【5】分别举出了平面二次系统至

4、少存在四个极限环的例子，破除了平面二次系统极限环个数的上界是3的传统猜测，对亢=2时的mlbeft第16问题是一个极大的推进．1995年，“6】对于含有2个细焦点的有界二次系统存在(1，1)一结构的极限环，在2阶细焦点的周围不存在极限环．2000年，Dumortief【7】总结了对于有界二次系统己有的结论并研究了其局部分岔．Q衄等人【8】研究了含有两个或三个参数的二次平面多项式微分系统2第l章绪论的极限环分岔．给出了参数决定的不同区域中的分岔曲线，在不同的区域下可以得到不同个数的极限环．2001年，am等人【9】研究了具体的二次微分

5、系统，在一个奇点周围找到了3个极限环．2006年，Ch∞等人【10】给出了开=2情形下的弱磁1bert第十六问题的统一的证明方法．自1984年以来，Li等人【11-13】为了寻找三次系统从一族闭轨线分岔出多少个极限环以及它们可能有多少种不同形式的分布，做了很多的工作，给出日(3)≥11的结论．2002年，‰g和Hon一Ⅶ研究了含有9次扰动项的三次H嬲linon系统的极限环分岔，得到了14个极限环．2004年，办ang和H缸【”】研究了四次扰动项下的三次系统的极限环个数，运用分岔理论与定性分析，得到系统存在15个极限环，并给出结论日(

6、4)≥15．zl：la《Ⅷ考虑了含有四次扰动项的三次系统，发现存在15个极限环．Yu和Han【171指出了3次平面系统存在12个小极限环，该系统具有z，．对称性，并且原点是鞍点、结点或焦点，且存在关于原点对称的两个焦点，指出这样的z2．等变向量场可以存在12个极限环，以前猜测的存在14或16个极限环是不可能的．2005年，“u和wen【“】研究了三次多项式系统的多极限环分岔，证明了系统存在12个极限环．2006年，zang等人【19】研究了三次扰动项下的三次近H锄mton系统极限环的个数，得到9．11个极限环，并运用分岔理论和定性分

7、析的方法给出了它们之间的分布构型．2002年，Lill等人【冽利用定性分析和数值模拟相结合的方法研究了受扰的五次H加1ilton系统的极限环分岔，首先得到未扰系统的相图，并对闭轨线进行分类，然后利用判定函数得到扰动后系统的判定曲线和极限环的个数及其分布．2004年，ll∞ng和“n【21l研究了一类五次多项式系统在无穷远点处的多极限环分岔．2005年，zhang等人【矧研究了带有5次非线性项的简支悬臂粱在轴向激励下的多极限环分岔和余维3的退化分岔．sh勰g和H缸田】研究了一种含扰动项的五次系统，利用多参数扰动理论和和定性分析得到了5

8、个极限环．此外，1994年，w缸g和M∞㈨给出了一种计算I驷pl加ov量的复算法和一个利用计算机符号语言判定平面多项式系统中心的准则，并给出了不含2次项的4次非线性系统存在11个极限环的例子．1996年，Li和珏锄d瞄】给出了一种研究