多项式微分系统极限环的有限性问题

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1、安徽大学硕士学位论文多项式微分系统极限环的有限性问题姓名：孙艾明申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：盛立人2003.4.1摘要0谓的多项式微分系统极限环的有限陛问题是说，R：上在一多项式向量场是否至多只有有限个极限环．关于这个问题的研究，现有的工作和有关资料见得不多．在有限性猜测的研究中有两个十分重要的结果，即修正的Dulac定理和11'，。。。。。。。定理，现有的文献对这两个定理的讨论和证明非常简要西文将围绕有限性猜测仔细来讨论这两个定理，主要是详细补出了这两个定理的证明．此外本文还介绍了一个与二次系统有限性证明有关的结果一11’yashenko两边形定理

2、．正文分为四部分，引言介绍了问题的提出和相关概念．第二章详细讨论和证明了修正的Dulac定理，即解析向量场的单一多边环，可选取一适当半匀断，使相应的单一变换芽或为平坦芽，或为半正则芽，或为平坦芽的逆．第三章详细讨论和证明了11’yashenko定理，即平面解析向量场的多边环上每一顶均为双曲奇点，则此多边环附近不能结集无限多个极限环．最后一章介绍了11’yashenko两边形定理，即实平面上解析向量场的任一两边形均为有限多边环，这个定理的直接推论便是二次系统的有限性定理．，，／+关键词，解析向圣场极蘸碌多这舞半匀断单一变摸鲜半正痢；Dulac对瀛解析向量场极限环多边

3、环半匀断单一变摸芽半正则芽对应律tAbstractTheso．caliedfinitenessproblemofpolynomialdifferentialsystemistodeterminewhetherthenumberoflimitcyclesofeverypolynomialvectorfieldontherealplaneisfinite．Theexistingworkandmaterialaboutthestudyofthisproblemisquitescarce．Inthestudyoffinitenessconjecture，therearet

4、woimportantconclusions，thatisRevisedDulac’STheoremand11’yashenko’STheorem．Butthediscussesanddemo‘nstrationsofthesetwotheoremsareverybriefandsimpleinexistingdocuments．Thispapertalksaboutthesetwotheoremsaroundthefinitenessconjectureandmainlygivesdetailedproofsforthem．Inaddition，thispape

5、rintroducesatheoremwhichisrelatedtothefinitenessproofofquadraticsystem，thatis11'yashenko’StWO‘sidecycletheorem．Thepaperhasfourparts．Introductiongivestheoriginoftheproblemandsomedefinitions．ThesecondchapterdiscussesandprovestheRevisedDulac’STheorem，thatis，ifapolycycleofananalyticvector

6、fieldhasamonodromymap，thenthereisasemi—transversalforwhichthemonodromymapiseitherflat，semi-regular,ortheinverseofaflat．Thethirdchapterdiscussesandproves11’yashenko’STheorem，thatis，ifeveryvertexonthepolycycleofananalyticvectorfieldintherealplaneishyperbolic，thenlimitcyclescannotaccumul

7、ateonthispolycycle．Thelastchaptertalksaboutthe11’yashenko’StWO—sidecycletheorem，thatis，everytwo—sidecycleofananalyticvectorfieldintherealplaneisthefinitepolycycle．ThequadraticfinitenesstheoremiSadirectcorollaryofthistheorem．KeywordsAnalyticvectorfieldLimitcyclePolocycleSemi—transversa

8、lMono