三元多项式微分系统的反射函数与周期解

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1、第29卷第3期Vl01．29No．3成都大学学报(自然科学版)2010年9月JournalofChengduUniversity(NaturalScienceEdition)Sep．2010文章编号：1004—5422(2010)03—0225—04三元多项式微分系统的反射函数与周期解周坚，赵士银(宿迁学院教师教育系，江苏宿迁223800)摘要：利用Mironenko的反射数理论，研究了三元多项式微分系统的反射函数为F(t，)=(t，x2，F3(t，))，(=，，：，)时，(t，)的具体表达式，并讨论了该系统存在周期解的条件．关键词：微分系统；反射函数；周期解中图分类号：0175．14

2、文献标识码：A的解．0引言引理1若X(t+2叫，)=X(t，)，系统(1)一般情况下，研究客观世界中许多物体的运动的解由其初值唯一确定，(t，)为系统(1)的反射规律可归结为研究微分系统，函数，则系统(1)的Poincare映射可定义为，=x(t，)，t∈R，∈(】，X2，⋯，)∈(1)()=F(一叫，)=(；一∞，)解的性态．若系统(I)为特殊的周期系统，即(￡+从而系统(1)在[一甜，叫]上有定义的解(￡；一，2c，)=X(t，)，(c￡，>0，(t，)∈R)，其解的)为2叫一周期解当且仅当为方程F(一，)=性态的研究可借助Poincare映射-1]．但对于一些的解．不可积系统，寻

3、找其Poincare映射往往很困难．2主要结论1980年，Mironenko建立了反射函数这一崭新的理论，该方法的好处在于，即使系统(1)为不可积系考虑三元多项式微分系统，统，也能通过反射函数法来建立其Poincare映1=a0+al戈l+a22+a33+a4+a5+射-4，从而达到研究周期系统解的性态的目的．利a6x+1+a81x3+a923用反射函数理论研究微分系统解的性态是一个崭新=Po+P13+P2；=：P的课题，有许多问题值得研究．本文就其中之一进行2=b0+b11+b2戈2+b33+b4+b5；+研究，并得到了一些全新的结论．该结论为进一步解b6；+b712+bs13+b9

4、23(3)释一些物体的复杂运动规律提供了新的判定准则．=+Q13+；=：Q1引理3=C0+el1+C22+C33+C4+C5+考虑微分系统(1)满足：(t，)连续可微，且C6X；+C712+C813+C9X2X3对V(z，)∈R¨“，其Cauchy问题具有唯一解=Ro+R13+R2=：R(t；r，)，t∈，cR．其中：定义1【4称连续可微函数F(t，)=(一t；P0=a0+口l1+a22+a4+a5+a712，￡，)，(f，)∈D为微分系统(1)的反射函数．P1=a3+a81+a92，由文献[4]知，函数F(t，)为系统(1)的反射P2=a6；函数的充要条件为它是偏微分方程，Q0=bo

5、+b11+622+64戈+65+b712，f(，)+(t,x)X(t，)+(一￡，(，))=0，^、1．F(o，)：z，Ql=b3+b81+b92，收稿日期：2010—07—09．基金项目：国家自然科学基金(6o774073)资助项目．作者简介：周坚(1976一)，女，硕士，讲师，从事微分方程研究．·226·成都大学学报(自然科学版)第29卷Q2=b6；在，则，Ro=c0+c11+c22+C4+C'5+C712，Pn+PnP1+O．1im：P=-2lira=0，lira：：一1R1=c3+c81+c9戈2，0t--~O●P．o尸2P2R2=。6．+OO口f=(t)，b：b(t)，c=c

6、；(t)为R上的连续＼、l●ira●●+qo：0．1imQ1+Q1，，．。．．．。．．．．．．+0_一／卜．0可微函数，且a=口(一t)，b(一t)，一cc(一Q2Q：t)，i=0，1—9，t∈R．，，．．．．刊．证．．+．．．明。。。．若F1(t，1，2，3)=1，由式(4)得，下面研究当系统(3)的反射函数为F(t，，：，／PL，Q／RP+P0一一一+(￡￡3)=(1，2，F3(t，1，2，3))时，F3(t，1，2，P2P2，)的具体表达式．再结合反射函数的性质，定理条件及，的任意性可定理I若F1(t，1，2，3)=1，Fz(t，1，2，得、，、，、＼、●●●●●●3)=2，贝Ⅱ

7、a(0)=0，b(0)=0，(i=0，1—9)．=证明若F1(t，1，2，3)=1，F2(t，1，2，liraO=0，，)=：，则由反射函数的基本关系式(2)有，若T2(t，1，2，3)liraQ0+Q0Q21==一J．q：Q2由第一分量得，定理4若a≠0，b≠0，系统(3)的反射函数0+A+A=0(4)式中，ao=Ao(t，1，X,2，戈3)=+3+P22+P0，A1=+，(f，)=(1，2，go(t)+IIIl=Al(‘，1)=P1，A2=