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《一类原点为幂零奇点的三次系统的中心焦点判定与极限环分支》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一类原点为幂零奇点的三次系统的中心焦点判定与极限环分支第32卷 第1期河北理工大学学报(自然科学版)Vol132 No112010年2月JournalofHebeiPolytechnicUniversity(NaturalScienceEdition)Feb.2010:167420262(2010)0120055205一类原点为幂零奇点的三次系统的中心焦点判定与极限环分支赵倩倩,卜珏萍,毕先兵(中南大学数学科学与计算技术学院,湖南长沙410083)关键词:三次系统;幂零奇点;拟Lyapunov常数;中心焦点;原点;扰动;极限环分支摘 要:研究一类原点为幂零奇点的三次系统的中心焦点判定和极限
2、环分支问题。对一类三次系统给出了计算原点拟Lyapunov常数的递推公式,并在计算机上用Mathematica推导出该系统原点的前6个拟Lyapunov常数,进而分别推导出原点成为中心和最高细焦点的条件,并在此基础上得到了此系统的扰动系统在原点邻域内恰有6个包围原点的极限环的结论。:O21114 文献标志码:A0 引言平面微分自治系统的中心焦点判定与极限环分支问题是微分方程定性理论与分支理论中的重要课题,以往的文献绝大多数是讨论原点是初等焦点的情况(见文[7211]),而对线性近似系统有零特征根的情况考虑较少。本文考虑实平面微分自治解析系统dxdt=X(x,y)=y+Σ∞k+j=2akjx
3、kyjdydt=Y(x,y)=y+Σ∞k+j=2bkjxkyj(011) 系统(011)在原点邻域线性近似系统的两个特征根都是零,但线性项不全为零。称系统(011)的原点为幂零(Nilpotent)奇点。对于此类含幂零奇点的平面微分自治系统,Amelikin在1953年研究了一类三次系统,计算出了原点的前3个Lyapunov常数,并证明原点为中心的充要条件是前3个Lyapunov常数均为零(见文[1]);Amelikin在1968年分别研究了一类三次系统和五次系统计算出原点的前2个和5个Lyapunov常数,并证明了原点成为中心的充分必要条件(见文[1]);Takens、Strozyna
4、、Zoladek、Moussu等在文[126]〗中研究了系统(a1)原点邻域的规范型;AlvarezandGasull证明了了系统(1)的原点为m阶细焦点时可以在原点领域扰动出m21个极限环(见文[5]、[6]);AlvarezandGasull在2006年对Kukles系统计算出了原点的前4个Lyapunov常数,证明原点成为中心的充分必要条件,并给出了Kukles系统由4阶细焦点扰动出3个极限环的实例。刘一戎和李继斌在文[428]〗中对初等奇点的中心焦点判定与极限环分支问题进行了深入的研究,文[14]中得出了一般三次系.17.易起统计算拟Lyapunov常数的递推公式,并解决了几类含幂
5、零奇点的三次系统的中心焦点判定和其扰动系统极限环分支问题。1 后继函数与焦点量据文[1]中原点为中心或焦点的充分必要条件,易知系统(1)的坐标原点为3次奇点且为中心或焦点的收稿日期:2009207228充分必要条件是b02=0,(2a20-b11)2+8b30=<0不失一般性,可设a20=μ,b20=0,b11=2μ,b30=-2(111) 否则记(2a20-b11)2+8b30=-16λ2,2a20+b11)=4λμ,并作变换ξ=λx,η=λy14(2a20-b11)2λx2本文即讨论由(211)式所确定的系统dxdt=X(x,y)=y+μx2+Σ∞k+2j=3akjxkyjdy
6、dt=Y(x,y)=-2x2+2μxy+Σ∞k+2j=4bkjxkyj(112) 系统(212)经广义极坐标变换x=rcosθ,y=r2sinθ(113) 化为drdθ=cosθR1(θ)Q1(θ)r+o(r)(114) 其中R1(θ)=sinθ(1-2cos2θ)+μ(cos2θ+2sin2θ)(115)Q1(θ)=-2(cos4θ+sinθ)<0 对充分小的,方程(214)适合初值条件r
7、θ=0=h的解记为r=r(θ,h)=Σ∞k=1vk(θ)hk(116) 其中v1(θ)=1(cos4θ+sin2θ)exp(12μarctansinθcos2θ(117)v1(kπ)=
8、1,k=0±1,±2⋯(118) 由于当r充分小时,dθdt<0,故系统(212)在原点邻域的后继函数为Δ(h)=r(-2π,h)-h=Σ∞k=2vk(-2π)hk(119) 文[14]中给出了定理111对任一正整数m2m+1(-2π),可表为下列形式v2m+1(-2π)=Σ∞k=1ξ(k)mv2k(-2π)(1110) 其中ξ(k)m是vj(π),vi(2π),vi(-2π),(i=2,3,⋯2m),这些元
