一类非线性系统极限环的讨论与应用

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1、文章编号：1008-2956(2006)02-0068-04一类非线性系统极限环的讨论与应用封汉颍张飞龙2,尹志勇彳(1.军械工程学院基础部2.电气工程系，河北石家庄O5OOO3)摘要：用平面自治系统的极限环理论和分支理论研究了一类貝有普遍意义的非线性系统，讨论了该系统极限环的存在性和唯一性•同时解决了系统极限环的个数和分布问题"应用所得结论，推广并改进了前人的结果。关键词：非线性系统；极限环；分支；存在性；唯一性中图分类号：0175.13文献标识码：ADiscussiononLimitCyclesforaClassofNonl

2、inearSystemFENGHan-ying1,ZHANGFei-long2,YINZhi-yong2(I.DepartmentofBasicCourses2・DepartmentofElectricEngineering,OrdnanceEngineeringCollege,Shijiazhuang050003,China)Abstract:AclassofNonlinearSystemwithgreatsignificanceisresearchedwiththeTheoryofLimitCyclesandBifurca

3、tionofthePlaneAutonomousSystem.Theexistenceanduniquenessofitslimitcyclesandbifurcationsareanalyzed,andatthesametimetheproblemsofthenumberandlocationofthelimitcyclesaresolved.Byapplyingtheconclusions,resultsofpredecessorsareextendedandimproved.Keywords：nonlinearsystem

4、；limitcycles；bifurcation；existence；uniquenessdxdt收稿H期：2005-12修回日期：2006・03・17基金項目：国家自然科学基金资助项U(10471066)作者简介：封汉颍(I96I-).男.硕七.副教授.衍=厂不』=yd】=山,仍以表乐新变虽,则系统(1)化为:德国数学家D.Hilbert于1900年在巴黎第二届国际数学家大会上提出了新世纪数学所面临的23个难题，其中第16个问题关于“代数曲线与曲面的拓扑”的后半部分是:给定n次多项式系统，问它最多有几个极限环以及它们的相对位置

5、如何，即能否估算岀它们极限环个数的最小上界。百余年来，许多国内外数学家做出了艰苦努力,取得一系列重要结果"2】，但是目前对这一问题的研究进展甚微，离彻底解决还相差很远。笔者对一类具冇普遍意义的非线性系统的极限环进行了讨论，并解决了其个数与分布问题。1主要结果考虑多项式系统：=-ya(1+y)+m%"(l+y)+Zxa>1—Ml+y)W)竽=xa(l+y+ax)(a为IE奇数)这里为任意函数，下面研究非线性系统(1)的极限环悄况。为不失一般性，设aWO；否则，可通过变换衍=7,珀二7实现。竽=°严W0,故直线y=-1是系统(1)的

6、无切直线，轨线只能从直线的一侧穿向另-侧，于是系统(1)若存在闭轨线或奇异闭轨线「，它只能位于直线y二-1的一侧。故以下设y#-lo作变换：—=—ya+(1+y)a[mxa+(Z—1)%°**—axa*2]-n(l+y)a-*^(y)=P(x,y)。(2)=(1+a严)=Q(b).定理1当m(l+/a+/)WO时，系统(2)在全平面上无极限环。证明:取Dulac函数B(刃=(1+刃3>,则)*adW(BP,BQ)=£(BP)+吕(BQ)=dxdy(1+y)・"°“g[ma-(1+Za+Z)ax2]x°-*o由于a为正奇数，所以当

7、ma(+/a+/)^0时,div(BP,3Q)在直线"-1两侧常号，且不在任何子区域内恒为零。根据Bendixson-Dulac判别引理2系统(2)若冇围绕原点的极限环，它必不与直线/2-x--丄相交。a证明:假设围绕原点的极限环与点线兀二-+相交，由于Q(x,y)=^-=(1+r)a**(X*+axa*1),在y轴左侧总冇0(力』)<0,所以极限环的绕行方向足逆时针的(如图1)。那么当％〉■丄时，轨线a为了形成闭合曲线，必然应该冇Q(sy)>0的情况出现，但实际上当兀〉-丄时，总是Q(兀,y)<0,推a出矛盾。故系统(2)若

8、有•围绕原点的极限环，它必不与直线/2：x=-丄相交。证毕。a图1系统(2)有围绕原点极限环的情况法，当皿(1+/a+/)W0时，系统(2)在全平面上无极限环。证毕。为研究系统(1)的极限环，仅需考虑+/)>0的情况。不妨设l+Za+Z>0,因已设aW0,则m<