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1、学校代码10459学号或申请号201111140040密级kf専士学位文类Lie-PoissonHamilton系统的若千方面作导者师姓姓名名耿雪耿献国教授杜殿楼教授门名院科类:理学业称:基础数学培养系：数学与统计学院完成时间：2015年1月AdissertationsubmittedtoZhengzhouUniversityforthedegreeeofDoctorSeveralaspectsforaclassofLie-PoissonHamiltoniansystemsCandidate:XueGengSupervisor:Profs.Xianguo
2、Geng,DianlouDuSpeciality:PureMathematicsDepartment:SchoolofMathematicsandStatisticsDate:January,2015学位原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研宄所取得的成果。除文中己经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。学位论文作者：取智曰期：年6月f曰学位论文使用授权声明本人在导师指导下完成的论文及相关的
3、职务作品，知识产权归属郑州大学。根据郑州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州大学可以将本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索，可以釆用影印、缩印或者其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为郑州大学。保密论文在解密后应遵守此规定。学位论文作者：耳、x拿日期：及/丄年/月/日摘要本文主要研究与孤子方程相关的Lie-PoissonHamilton系统的两方面内容：第一,讨论与一个
4、孤子方程相关的Lie-PoissonHamilton系统之间的关系.其一,与一个孤子方程相联系的标准辛结构下有限维可积系统是Lie-Poisson框架下有限维可积系统几种不同的辛实现形式.其二,一个孤子方程对应一种约束Hamilton系统,它就是由Bargmann约束产生的Hamilton系统,其它约束系统(Neumann约束,高阶约束)是Bargmann约束系统不同维数的体现.第二,处理由与Lie代数gl(3)及其子代数对应的3×3Lax矩阵产生的与孤子方程相关的有限维可积系统,包括与Boussinesq方程相关的Lie-PoissonHamilton
5、系统以及几种Gaudin模型对解三波方程,耦合非线性Schr¨odinger方程的应用.并证明这些系统的Liouville可积性.进一步,在Casimir函数的公共水平集上构造可分离变量,利用Hmailton-Jacobi理论引入作用-角变量得到Lie-PoissonHamilton系统以及与其相联系的这些孤子方程的Jacobi反演问题.本文可以概括为以下几方面:I.利用Poisson结构和余伴随表示理论,研究Lie-Poisson框架下和标准辛结构下有限维可积系统的关系:标准辛结构下有限维可积系统是Lie-Poisson框架下有限维可积系统几种不同的辛
6、实现形式.II.通过位势与特征函数之间不同的约束形式分别产生Neumann系统,Bargmann系统(两者皆是显式约束),高阶约束流系统(隐式约束)这几种有限维可积系统,我们将在Lie-Poisson框架下研究这些在不同约束形式下产生的有限维可积系统之间的关系.在Lie-Poisson结构下,一个孤子方程对应的只有一种约束Hamilton系统,这个系统就是Bargmann约束产生的Hamilton系统,其它形式的约束系统是Bargmann约束系统不同维数的体现.本文分别以与非线性Schr¨odinger方程以及与Boussinesq方程族相关的Lie-P
7、oissonHamilton系统为例进行阐述.III.Boussinesq方程是一个著名的与3×3矩阵谱问题相联系的孤子方程,本文建立了两个与Boussinesq方程相联系的Lie-PoissonHamilton系统.并在iCasimir函数的公共水平集上构造可分离变量,利用Hmailton-Jacobi理论引入作用-角变量,从而得到Lie-PoissonHamilton系统以及与Boussinesq方程相关的Jacobi反演问题.IV.从与Lie代数gl(3)相关的3×3Lax矩阵出发,讨论它对应的Gaudin模型,以及这些Gaudin模型对解三波方程
8、,耦合非线性Schr¨odinger方程的应用.进一步考虑在Lie代数gl(3)
